Chủ đề này có 1 trả lời

[Stranger411]

Cho số nguyên tố $p$, tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa 2 điều kiện:
1) $a^2 +b = p^k$ với $k \in \mathbb{Z^+}$
2) $a^2 +b | a + b^2$


ps: mấy chú ở Khtn chắc biết bài này nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Stranger411: 03-02-2013 - 15:34

[nguyenta98]

Giải như sau:
Đặt $gcd(a,b)=d \Rightarrow a=dx,b=dy,gcd(x,y)=1$
Ta có $b^2+a=p^m \Rightarrow b^2+a \vdots p^m$
Và $a^2+b \vdots b^2+a=p^m \Rightarrow a^2+b \vdots p^m \Rightarrow a^2b+b^2 \vdots p^m$
Suy ra $(a^2b+b^2)-(b^2+a) \vdots p^m \Rightarrow a(ab-1) \vdots p^m$
Nhận thấy $gcd(a,ab-1)=1 \Rightarrow a \vdots p^m$ hoặc $ab-1 \vdots p^m$
Nếu $a \vdots p^m \Rightarrow a\geq p^m$ vô lý vì $b^2+a=p^m \Rightarrow a<p^m$
Do đó $ab-1 \vdots p^m \Rightarrow gcd(a,p^m)=1 \Rightarrow gcd(a,p)=1$
Mặt khác $a=dx,b=dy \Rightarrow d^2y^2+dx=p^m \Rightarrow d(dy^2+x)=p^m \Rightarrow p^m \vdots d$
Nhưng $gcd(a,p)=1 \Rightarrow gcd(dx,p)=1 \Rightarrow gcd(d,p)=1$ mà $p^m \vdots d \Rightarrow d=1$
Do đó $gcd(a,b)=1$
Mặt khác từ $b^2+a=p^m \Rightarrow a=p^m-b^2$
Suy ra $a^2+b \vdots b^2+a$
$\Rightarrow (p^m-b^2)^2+b \vdots p^m$
$\Rightarrow p^{2m}-2.p^m.b^2+b^4+b \vdots p^m$
$\Rightarrow b^4+b \vdots p^m$
$\Rightarrow b(b^3+1) \vdots p^m$
Nhưng ta thấy $gcd(a,b)=1 \Rightarrow gcd(b,p)=1$ vì nếu $b \vdots p \Rightarrow a \vdots p$ vô lý
Do đó suy ra $b^3+1 \vdots p^m \Rightarrow (b+1)(b^2-b+1) \vdots p^m$
TH1: $p\neq 3$ ta có $gcd(b+1,b^2-b+1)=1,3$ mà $p\neq 3$ suy ra $b+1 \vdots p^m$ hoặc $b^2-b+1 \vdots p$
$\boxed{\text{KN1}}$ $b+1 \vdots p^m \Rightarrow b+1 \geq p^m$
Mặt khác nếu $b=1 \Rightarrow 2 \vdots p^m \Rightarrow p=2,m=1 \Rightarrow a=1$ do đó $(a,b)=(1,1)$
Nếu $b\geq 1 \Rightarrow b^2\geq b+1\geq p^m \Rightarrow b^2+a>p^m$ vô lý
$\boxed{\text{KN2}}$ Nếu $b^2-b+1 \vdots p^m \Rightarrow b^2-b+1 \geq p^m$
Mặt khác $b^2+a>b^2-b+1\geq p^m$ vô lý
TH2: $p=3$ ta có $gcd(b+1,b^2-b+1)=1,3$ suy ra $(b+1)(b^2-b+1) \vdots 3^m$
$\boxed{\text{KN1}}$ $gcd(b+1,b^2-b+1)=1$ suy ra hoặc $b+1\vdots 3^m$ hoặc $b^2-b+1 \vdots 3^m$ và làm tương tự như trên suy ra vô nghiệm
$\boxed{\text{KN2}}$ $gcd(b+1,b^2-b+1)=3 \Rightarrow b^2-b+1 \vdots 3$
Ta có $b^2-b+1=(b-5)(b+4)+21$ dễ dàng chứng minh chia hết cho $3$ mà không chia hết cho $9$
Do đó $(b+1)\left(\dfrac{b^2-b+1}{3}\right) \vdots 3^{m-1}$
Vì ta đã cm $gcd(b+1,b^2-b+1)=3$ suy ra $b+1=3u,b^2-b+1=3v,gcd(u,v)=1$ mà ta đã chứng minh $b^2-b+1 \vdots 3$ mà không $\vdots 9$ suy ra $gcd(v,3)=1$ suy ra $gcd(3u,v)=1$ nên suy ra $gcd(b+1,\dfrac{b^2-b+1}{3})=1$ mà ngoài ra ta đã chứng minh rằng $b^2-b+1 \vdots 3$ mà không $\vdots 9$ nên $\dfrac{b^2-b+1}{3}$ không chia hết cho $3$
Nên suy ra $b+1 \vdots 3^{m-1} \Rightarrow b+1=3^{m-1}.t \Rightarrow b=3^{m-1}.t-1$
Thế vào ban đầu có $\left(3^{m-1}.t-1\right)^2+a=3^m$
$\Rightarrow 3^{2(m-1)}.t^2+1+a=3^m+2.3^{m-1}$
$\Rightarrow 3^{2(m-1)}.t^2+1+1=5.3^{m-1}$
$\Rightarrow 3^{2(m-1)}.t^2<5.3^{m-1}$
$\Rightarrow 3^{m-1}.t^2<5$ suy ra $m=1,2$
Nếu $m=2 \Rightarrow 3t^2<5 \Rightarrow t=1$
Thế vào phương trình có $3^{2(2-1)}+1+a=5.3^{2-1}$ suy ra $a=5$ và $b=3^{m-1}-1=2$
Nếu $m=1 \Rightarrow t^2<5 \Rightarrow t=1,2$
$\boxed{\Rightarrow}$ Nếu $t=1 \Rightarrow 3^{2(1-1)}+1+a=5.3^{1-1} \Rightarrow a=1 \Rightarrow b=3^{m-1}-1=0$ vô lý do $b$ nguyên dương
$\boxed{\Rightarrow}$ Nếu $t=2 \Rightarrow 3^{2(1-1)}.4+1+a=5.3^{1-1} \Rightarrow a=0$ vô lý do $a$ nguyên dương
Vậy $\boxed{(a,b)=(1,1),(5,2)}$