Chủ đề này có 1 trả lời

[Stranger411]

Cho đa thức $P(x)= \prod_{i=1}^{n}( x- a_i)$ với $n \ge 5$ và các $a_i \in \mathbb{Z}$ phân biệt. Chứng minh nếu tam thức $ a x^2 + bx +1$ bất khả quy trên $\mathbb{Z[x]}$ thì đa thức $ a P(x)^2 + b P(x) +1$ cũng bất khả quy trên $\mathbb{Z[x]}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Stranger411: 03-02-2013 - 15:29

[HeilHitler]

Cho đa thức $P(x)= \prod_{i=1}^{n}( x- a_i)$ với $n \ge 5$ và các $a_i \in \mathbb{Z}$ phân biệt. Chứng minh nếu tam thức $ a x^2 + bx +1$ bất khả quy trên $\mathbb{Z[x]}$ thì đa thức $ a P(x)^2 + b P(x) +1$ cũng bất khả quy trên $\mathbb{Z[x]}$

Dập cái bổ đề này vào là ngon (cũng tương đối lắt léo về mặt lý luận):
$A(x)$ là một đa thức bậc $k$ và $n$ số nguyên $a_i$ ($k<n, n \geq 5$) thõa mãn $A(a_i)$ chỉ nhận các giá trị trong tập {$1,-1$}. Khi đó bắt buộc $A$ phải là đa thức hằng, và $A(x)=1$ hoặc $A(x)=-1$.
Dập vào:
Giả sử bài toán sai, tức là tồn tại $M,N \in Z_{[x]}$ và khác hằng để:
$aP^2(x)+bP(x)+c=M(x).N(x) \Rightarrow M(a_i)N(a_i)=1 \Rightarrow$ $M(a_i), N(a_i)$ chỉ nhận các giá trị trong tập {$1,-1$}.
Nếu một trong hai thím $M,N$ có bậc nhỏ hơn $n$ thì theo bổ đề, thím đó phải bằng hằng số (mâu thuẫn với giả thuyết khả quy). Thành thử $degM=degN=n$.
Cứ gọi hệ số cao nhất của thím $M$ là $m$ đi, xét: $M(x)=m \prod (x-a_i)+M'(x)$, rõ ràng thím $M'$ có bậc nhỏ hơn $n$ và $M'(a_i)$ chỉ nhận giá trị trong tập {$1,-1$} $\Rightarrow M(x)=m \prod (x-a_i)+1$ (hoặc $M(x)=m \prod (x-a_i)-1$, tuy nhiên trường hợp này cũng thực hiện tương tự).
Tương tự $N(x)=n \prod (x-a_i)+1$.
Suy ra: $aP^2(x)+bP(x)+c=[mP(x)+1][nP(x)+1] \Rightarrow ax^2+bx+1=(mx+1)(nx+1)$ (mâu thuẫn giả thuyết bất khả quy). Vậy bài toán được chứng minh theo nguyên lý phản chứng.