Chủ đề này có 2 trả lời

[tramyvodoi]

Tìm phần nguyên của số :
$\text{S}_{n} = \sqrt{2} + \sqrt[3]{\frac{3}{2}} + \sqrt[4]{\frac{4}{3}} + ... + \sqrt[n + 1]{\frac{n + 1}{n}}$.

[thanhdotk14]

Tìm phần nguyên của số :
$\text{S}_{n} = \sqrt{2} + \sqrt[3]{\frac{3}{2}} + \sqrt[4]{\frac{4}{3}} + ... + \sqrt[n + 1]{\frac{n + 1}{n}}$.

Bài giải: (Đây là đề thi olympic 30-4 năm 2008)
Ta có:$S_n> n$
Áp dụng bất đẳng thưc $cauchy$ cho $k+1$ số gồm $k$ số $1$ và$(1+\frac{1}{k})$
$$k+(1+\frac{1}{k})>\left ( k+1 \right )\sqrt[k+1]{1+\frac{1}{k}}$$ (Dấu $"="$ không xảy ra vì $1+\frac{1}{k}>1$)
$$\Leftrightarrow 1+\frac{1}{k(k+1)}>\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}$$
$$\Leftrightarrow 1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}>\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}} (*)$$
Áp dụng $(*)$ với $k=1,2,3,..,n$ Ta được:
$$\sqrt{\frac{2}{1}}<1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$$
$$\sqrt[3]{\frac{3}{2}}<1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$
$$.............$$
$$\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}<1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$
Cộng các bất đẳng thức trên ta được: $S_n< n+1-\frac{1}{n+1}< n+1$
Do đó: $n< S_n< n+1$
$\Rightarrow [S_n]=n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 03-02-2013 - 17:42

[HeilHitler]

Tìm phần nguyên của số :
$\text{S}_{n} = \sqrt{2} + \sqrt[3]{\frac{3}{2}} + \sqrt[4]{\frac{4}{3}} + ... + \sqrt[n + 1]{\frac{n + 1}{n}}$.

Đánh giá bằng Cosi cho mỗi phần tử: $1<\sqrt[k + 1]{\frac{k + 1}{k}}<1+\frac{1}{k(k+1)}$
Thế nên $n<S_n<n+1-\frac{1}{n+1} \Rightarrow [S_n]=n$.