Chủ đề này có 1 trả lời

[Noobmath]

Cho dãy $u_n$ xác định bởi : $u_1 =a , u_{n+1} = u_n^2+\frac{u_n}{2}$
Tìm tất cả các giá trị của a để cho dãy $u_n$ hội tụ

[Ispectorgadget]

Cho dãy $u_n$ xác định bởi : $u_1 =a , u_{n+1} = u_n^2+\frac{u_n}{2}$
Tìm tất cả các giá trị của a để cho dãy $u_n$ hội tụ

Xét hàm số $f(u)=u^2+\frac{u}{2}$.

Có $u_{n+1}=f(u_n)$

Do $u^2+\frac{u}{2}=u\left(u+\frac{1}{2} \right )>x\; ,\forall u\in \mathbb{R}$ nên $(u_n)$ là dãy tăng.

Giả sử $u_n \to a$ thế thì $a=a^2+\frac{1}{a}$, ta được $=\frac{1}{2}\vee a=0$

Mà $(x_n)$ tăng nên $$u_n\le \frac{1}{2},\; \forall n\in \mathbb{N}\Rightarrow u_2 \le \frac{1}{2}\Rightarrow u_1^2 +\frac{u_1}{2} \le \frac{1}{2}\Rightarrow -1\le u_1\le \frac{1}{2}$$

Vậy điều kiện cần và đủ để $(u_n)$ hội tụ là $-1\le u_1 \le \frac{1}{2}$

Ngược lại xét ánh xạ $f:X:=\left[-1;\frac{1}{2} \right ]\mapsto \left[\frac{-1}{2};\frac{1}{2} \right ]\subset \left[-1;\frac{1}{2} \right ]$nên biết $u_1 \in \left[-1;\frac{1}{2} \right ]$ thì với mọi $u\in \mathbb{N^*}$ và $(u_n)$ không hội tụ (vì nếu $u_n\to a$ thì $a=\frac{1}{2}>\frac{1}{2}$ là điều vô lý)

Vậy $(u_n)$ hội tụ khi và chỉ khi $u_1 \in \left[\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right ]$

Spoiler

=)) Hình như bị thiếu trường hợp