Chủ đề này có 4 trả lời

[hoangtrong2305]

Tính tích phân: $\int _{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\sin x\sqrt{1+x^{2}}\ dx$

[Mrnhan]

Tính tích phân: $\int _{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\sin x\sqrt{1+x^{2}}\ dx$

Áp dụng công thức:
$I=\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$
từ đó thì ta thấy $\int _{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\sin x\sqrt{1+x^{2}}\ dx=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 04-02-2013 - 22:37

[hoangtrong2305]

Áp dụng công thức:
$I=\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$
từ đó thì ta thấy $\int _{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\sin x\sqrt{1+x^{2}}\ dx=0$

Cám ơn bạn, nhưng tiện đây cho mình hỏi bên lề, bạn có thể chứng minh công thức $I=\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$ được không vậy ?

[Ly Gemini]

Tính tích phân: $I=\int _{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\sin x\sqrt{1+x^{2}}\ dx$

Ta có :

$I= \int_{-\frac{\pi}{4}}^{0}sin x \sqrt{1+x^{2}}dx+ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}sin x \sqrt{1+x^{2}} dx$

Đặt $x=-t$, khi đó :

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}sin x \sqrt{1+x^{2}} dx = -\int_{0}^{\frac{-\pi}{4}}sin (-t)\sqrt{1+t^{2}}dt= \int_{0}^{\frac{-\pi}{4}}sint \sqrt{1+t^{2}}dt$

$-\int_{\frac{-\pi}{4}}^{0}sint \sqrt{1+t^{2}}dt = -\int_{\frac{-\pi}{4}}^{0} sin x \sqrt{1+x^{2}}dx$

Vậy $I=0$

[Gioi han]

Cám ơn bạn, nhưng tiện đây cho mình hỏi bên lề, bạn có thể chứng minh công thức $I=\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$ được không vậy ?

Nếu $f(x)$ là hàm số liên tục trên $[a,b]$ thoả mãn $f(x)=f(a+b-x)$ thì
$\int^{b}_{a} xf(x)dx=\frac{a+b}{2} \int^{b}_{a}f(x)dx$
Chứng minh chỉ cần đổi biến $t=a+b-x$ !!!