Chủ đề này có 6 trả lời

[Ly Gemini]

Tìm hệ số chứa $x^{2}$ trong khai triển $(\sqrt{x}+ \frac{1}{2\sqrt[4]{x}})^{n}$, biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn :

$2C_{n}^{0}+ \frac{2^{2}}{2}C_{n}^{1}+ \frac{2^{3}}{3}C_{n}^{2}+...+\frac{2^{n+1}}{n+1}C_{n}^{n}= \frac{6560}{n+1}$

[Ispectorgadget]

Tìm hệ số chứa $x^{2}$ trong khai triển $(\sqrt{x}+ \frac{1}{2\sqrt[4]{x}})^{n}$, biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn :

$2C_{n}^{0}+ \frac{2^{2}}{2}C_{n}^{1}+ \frac{2^{3}}{3}C_{n}^{2}+...+\frac{2^{n+1}}{n+1}C_{n}^{n}= \frac{6560}{n+1}$

$(1+x)^{n}=C_n^0+C_n^1x+...+x^n C_n^n,\forall x\in \mathbb{R}$
Lấy tích phân 2 vế cận từ $0 \to 2$
$$\int_0^2 (1+x)^n dx=\int_0^2(C_n^0+C_n^1x+...+x^n C_n^n)$$
$$ \left[\frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} \right ]\bigg|_0^2 =\left[x+\frac{x^2}{2}+...+C_n^n\frac{x^{n+1}}{n+1} \right ]\bigg|_0^2$$

$$ \frac{3^{n+1}-1}{n+1}=\frac{6560}{n+1} \Leftrightarrow n=7$$

$$\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt[4]{x}} \right )^7=\sum\limits_{k=0}^7\left(x^{\frac{1}{2}} \right )^k.\left(\frac{1}{2\sqrt[4]{x}} \right )^{12-k}$$

Giải nốt cái này là xong

[dark templar]

$(1+x)^{n}=C_n^0+C_n^1x+...+x^n C_n^n,\forall x\in \mathbb{R}$
Lấy tích phân 2 vế cận từ $0 \to 2$
$$\int_0^2 (1+x)^n dx=\int_0^2(C_n^0+C_n^1x+...+x^n C_n^n)$$
$$ \left[\frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} \right ]\bigg|_0^2 =\left[x+\frac{x^2}{2}+...+C_n^n\frac{x^{n+1}}{n+1} \right ]\bigg|_0^2$$

$$ \frac{3^{n+1}-1}{n+1}=\frac{6560}{n+1} \Leftrightarrow n=7$$

Cái dưới giải quyết dễ rồi Còn phần này làm theo cách Đại số khác :

\[\begin{array}{rcl}
\sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{2^{k + 1}}}}{{k + 1}}\binom{n}{k}} &=& \frac{1}{{n + 1}}\sum\limits_{k = 0}^n {{2^{k + 1}}\binom{n+1}{k+1}} \quad \text{(Quy tắc hút)}\\
&=& \frac{{{3^{n + 1}} - \binom{n+1}{0}}}{{n + 1}}\\
&=& \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}
\end{array}\]

[luuxuan9x]

Cái dưới giải quyết dễ rồi Còn phần này làm theo cách Đại số khác :

\[\begin{array}{rcl}
\sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{2^{k + 1}}}}{{k + 1}}\binom{n}{k}} &=& \frac{1}{{n + 1}}\sum\limits_{k = 0}^n {{2^{k + 1}}\binom{n+1}{k+1}} \quad \text{(Quy tắc hút)}\\
&=& \frac{{{3^{n + 1}} - \binom{n+1}{0}}}{{n + 1}}\\
&=& \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}
\end{array}\]

Quy tắc Hút là gì vậy bạn?Bạn có thể nêu cụ thể được không?

[Ispectorgadget]

Quy tắc Hút là gì vậy bạn?Bạn có thể nêu cụ thể được không?

Trên có ghi rõ rồi mà :|
$\frac{1}{k+1}C_n^k =\frac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 05-02-2013 - 13:30

[tieuthumeo99]

Có cách nào ko cần dùng tích phân ko ạ?

[quanguefa]

Có cách nào ko cần dùng tích phân ko ạ?

Dễ dàng biến đổi: $\frac{2^{k+1}}{k+1}.C_{n}^{k}\textrm{}=\frac{2^{k+1}}{n+1}.C_{n+1}^{k+1}\textrm{}$
Cho k chạy từ 0 đến n và kết hợp đẳng thức đề cho ta được: $2.C_{n+1}^{1}\textrm{}+2^{2}.C_{n+1}^{2}\textrm{}+...+2^{n+1}.C_{n+1}^{n+1}\textrm{}=6560$
Xét khai triển nhị thức Newton: $(2+1)^{n+1}=2^{0}.C_{n+1}^{0}\textrm{}+2^{1}.C_{n+1}^{1}\textrm{}+2^{2}.C_{n+1}^{2}\textrm{}+...+2^{n+1}.C_{n+1}^{n+1}\textrm{}$
Suy ra: $3^{n+1}=1+6560$
n=7
Phần còn lại đơn giản, đáp số là 21/4