Chủ đề này có 3 trả lời

[Alexman113]

Chứng minh rằng nếu hiệu các lập phương của hai số nguyên liên tiếp là bình phương của một số tự nhiên $n$ thì $n$ là tổng của hai số chính phương liên tiếp.

[banhgaongonngon]

Chứng minh rằng nếu hiệu các lập phương của hai số nguyên liên tiếp là bình phương của một số tự nhiên $n$ thì $n$ là tổng của hai số chính phương liên tiếp.

Chính là bài toán $1$ trong đề thi này
http://diendantoanho...-nội-amsterdam/

[chrome98]

Giải:
Ta có: $(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1=k^2\Leftrightarrow (2k)^2-3(2n+1)^2=1$ (*)
Phương trình trên chính là phương trình Pell loại I $u^2-3v^2=1$, nên ta có công thức nghiệm của phương trình Pell này:
$\begin{matrix} u_0=1, u_1=2, u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n \\ v_0=0, v_1=1, v_{n+2}=4v_{n+1}-v_n \end{matrix} ; n=0,1,2,...$
Ta chỉ xét các giá trị $u_i,v_i$ thỏa mãn $u_i$ chẵn và $v_i$ lẻ, nhận thấy $i=2z+1$ thỏa mãn.
Ta có các nghiệm thỏa mãn phương trình (*) là:
$\begin{matrix} u'_0=2, u'_1=26, u'_{n+2}=14u'_{n+1}-u'_n \\ v'_0=1, v'_1=15, v'_{n+2}=14v'_{n+1}-v'_n \end{matrix} ; n=0,1,2,...$
Số hạng tổng quát $(u'_i)$ của dãy này là $u'_i=(\frac{2+\sqrt{3}}{2})(7+4\sqrt{3})^n+(\frac{2-\sqrt{3}}{2})(7-4\sqrt{3})^n$
Xét dãy $(t_n)$ thỏa mãn $t_0=1, t_1=5, t_{n+2}=4t_{n+1}-t_n; n=0,1,2,...$, các số hạng $t_i$ đều lẻ.
Khi đó số hạng tổng quát của dãy trên là $t_n=(\frac{1+\sqrt{3}}{2})(2+\sqrt{3})^n-(\frac{\sqrt{3}-1}{2})(2-\sqrt{3})^n$
Ta thấy $u'_n=t_n^2+1\Rightarrow 2k_n=t_n^2+1\Rightarrow k_n=(\frac{t_n-1}{2})^2+(\frac{t_n+1}{2})^2$.

[dorabesu]

Cái này có thể trình bày bằng những kiến thức thuộc phạm vi cấp II không anh?