Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi HSG lớp 10 trường THPT Chuyên Hà Nội-Amsterdam


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1 Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K46 Toán 1 CSP và HMU K113
  • Sở thích:$$\mathfrak{Inequality}$$
    $$\mathfrak{Number Theory}$$
    $$\mathfrak{Analysis}$$

Đã gửi 05-02-2013 - 11:45

Đề thi HSG lớp 10 trường THPT Chuyên Hà Nội-Amsterdam
Thời gian: 90'
Bài 1:
Cho $a,n\in \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn $(a+1)^3-a^3=n^2$
Chứng minh rằng $n$ là tổng của hai số chính phương liên tiếp

Bài 2:
Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm:
$$\left\{\begin{matrix} x^2+\frac{4x^2}{(x+2)^2}\geq 5\\x^4+8x^2+16mx+16m^2+32m+16=0 \end{matrix}\right.$$

Bài 3:
Giải phương trình sau:
$$\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}=\sqrt{x+34}-\sqrt{x-7}$$

Bài 4:
Cho tam giác $ABC$ có ba góc đều nhọn.So sánh hai số $x$ và $4$ biết:
$$x=\prod (1+\sin A)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 05-02-2013 - 12:14

Hình đã gửi


#2 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 05-02-2013 - 11:58

Bài 2: http://diendantoanho...-16mx-32m-16-0/

Bài 4: Chắc thiếu đề :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 05-02-2013 - 11:58

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#3 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-02-2013 - 12:26

Bài 3:
Giải phương trình sau:
$$\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}=\sqrt{x+34}-\sqrt{x-7}$$


Điều kiện $x \ge 7.$ Với điều kiện trên thì PT
$\Leftrightarrow (\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2})^2=(\sqrt{x+34}-\sqrt{x-7})^2$
$\Leftrightarrow 2x+1+2\sqrt{x-1}.\sqrt{x+2}=2x+27-2\sqrt{x+34}.\sqrt{x-7}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}.\sqrt{x+2}=13-\sqrt{x+34}.\sqrt{x-7}$
$\Rightarrow x^2+x-2=169-26\sqrt{(x+34)(x-7)}+x^2+27x-238$
$\Rightarrow 26\sqrt{(x+34)(x-7)}=26x-67$
$\Rightarrow 26^2(x+34)(x-7)=(26x-67)^2$
$\Rightarrow 21736x=165377$
$\Rightarrow x=\dfrac{165377}{ 21736}$
Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy $x=\dfrac{165377}{ 21736}\,\,\,\,\,\,\,\,\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexman113: 05-02-2013 - 12:27

KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#4 demonhunter000

demonhunter000

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:the DEMON gate

Đã gửi 05-02-2013 - 13:01

bài 4: ta xét :tam giác ABC là tam giác không tù tương đương $ A,B,C \left [ 0,90 \right ] $
ta ln A ta có :$ln A=\sum ln(sin A+1)$
Xét hàm này và thấy hàm này là hàm lõm suy ra nó đạt cực tiểu ở biên :) (đg ko nhể)
vì vậy xét các TH khi $A,B,C \in \left \{ 0,90 \right \}$ ta đều thấy $ln A \geq ln4$ vì vậy $A\geq 4$ nhưng vì tam giác ABC nhọn nên không có dấu $=$ :)
Vì vậy $A>4$
:))

#5 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-02-2013 - 22:00

Bài 2:
Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm:
$$\left\{\begin{matrix} x^2+\frac{4x^2}{(x+2)^2}\geq 5\\x^4+8x^2+16mx+16m^2+32m+16=0 \end{matrix}\right.$$


Điều kiện của nghiệm: $x \ne - 2$

Với điều kiện đó, phương trình đầu của hệ tương đương với:

$x^2\left(x + 2\right)^2+4x^2\ge 5\left(x+2\right)^2\\\Leftrightarrow x^4+4x^3+3x^2-20x-20\ge 0\\\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^3+3x^2-20\right)\ge 0\\\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+5x+10\right)\ge 0$
$\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)\ge 0$ vì $\left(x^2+5x+10\right)>0,\forall x$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x\leq-1\\x\geq2\end{array}\right.\,\,\,\,\,\,(2)$

Mặt khác, phương trình thứ hai của hệ tương đương với:
$16m^2+16m\left(x+2\right)+\left(x^2+4\right)^2\\\Leftrightarrow4m+2\left(x+2\right)^2+\left(x^2+4\right)^2-4\left(x+2\right)^2=0\Leftrightarrow\left(4m+2\left(x+2\right)\right)^2+x\left(x-2\right)\left(x^2+2x+8\right)=0\,\,\,\,\,\,(3)$

Do $x^2+2x+8=\left(x+1\right)^2+7>0$ nên $(3)$ chỉ có nghiệm thỏa mãn $0\geq x\geq2\,\,\,\,\,\,(4)$
Từ $(2)$ và $(4)$ suy ra $x = 2$ (có thể) là nghiệm của hệ đã cho;
Thay vào $(3)$ ta có: $m=-2.$
Vậy: $\boxed{m=-2}\,\,\,\,\blacksquare$

KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#6 dorabesu

dorabesu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Làng Ninja

Đã gửi 05-02-2013 - 22:17

Điều kiện của nghiệm: $x \ne - 2$

Với điều kiện đó, phương trình đầu của hệ tương đương với:
$x^2\left(x + 2\right)^2+4x^2\ge 5\left(x+2\right)^2\\\Leftrightarrow x^4+4x^3+3x^2-20x-20\ge 0\\\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^3+3x^2-20\right)\ge 0\\\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+5x+10\right)\ge 0$
$\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)\ge 0$ vì $\left(x^2+5x+10\right)>0,\forall x$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x\leq-1\\x\geq2\end{array}\right.\,\,\,\,\,\,(2)$

Mặt khác, phương trình thứ hai của hệ tương đương với:
$16m^2+16m\left(x+2\right)+\left(x^2+4\right)^2\\\Leftrightarrow4m+2\left(x+2\right)^2+\left(x^2+4\right)^2-4\left(x+2\right)^2=0\Leftrightarrow\left(4m+2\left(x+2\right)\right)^2+x\left(x-2\right)\left(x^2+2x+8\right)=0\,\,\,\,\,\,(3)$

Do $x^2+2x+8=\left(x+1\right)^2+7>0$ nên $(3)$ chỉ có nghiệm thỏa mãn $0\geq x\geq2\,\,\,\,\,\,(4)$
Từ $(2)$ và $(4)$ suy ra $x = 2$ (có thể) là nghiệm của hệ đã cho;
Thay vào $(3)$ ta có: $m=-2.$
Vậy: $\boxed{m=-2}\,\,\,\,\blacksquare$

Bài này chỉ cần tìm 1 giá trị của m thôi ạ? Nếu thế thì có cần thử lại không anh?

#7 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-02-2013 - 22:38

Bài 4:
Cho tam giác $ABC$ có ba góc đều nhọn.So sánh hai số $x$ và $4$ biết:
$$x=\prod (1+\sin A)$$

Ta có:
$x=1+\sin A+\sin B+\sin C+\sin A\sin B+\sin B\sin C+\sin C\sin A+\sin A\sin B\sin C$
Do $\Delta ABC$ nhọn nên $\sin A\sin B\sin C>0\\\Rightarrow x>1+\sin A+\sin B+\sin C+\sin A\sin B+\sin B\sin C+\sin C\sin A$
Có bài toán nhỏ 1 sau: Với mọi $\Delta ABC$ ta luôn có: $$0<\sin A+\sin B+\sin C-\sin A\sin B-\sin B\sin C-\sin C\sin A<1$$
Thật vậy:
* $\sin A\left(1-\sin B\right)+\sin B\left(1-\sin C\right)+\sin C\left(1-\sin A\right)>0\\\Rightarrow \sin A+\sin B+\sin C-\sin A\sin B-\sin B\sin C-\sin C\sin A>0$
* $\left(1-\sin A\right)\left(1-\sin B\right)\left(1-\sin C\right)>0\\\Rightarrow \sin A+\sin B+\sin C-\sin A\sin B-\sin B\sin C-\sin C\sin A<1- \sin A\sin
B\sin C<1\\\Rightarrow \sin A+\sin B+\sin C-\sin A\sin B-\sin B\sin C-\sin C\sin A< 1\,\,\,(Q.E.D)$

Từ bài toán trên ta suy ra: $1+\sin A\sin B+\sin B\sin C+\sin C\sin A>\sin A+\sin B+\sin C\Rightarrow x>2\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)>2\left(\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\right),$

(do $0<\sin A,\,\sin B,\,\sin C<1$)
Có bài toán nhỏ 2 sau: Mọi $\Delta ABC$ nhọn khi và chỉ khi: $$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\geq2$$
Do: $\sin C = \sin (A+B)=\sin A \cos B + \sin B \cos A$.
Ta có
$\sin^2 A + \sin^2 B +\sin^2 C > 2 $
$\Leftrightarrow \sin^2 C>(1-\sin^2 A)+(1-\sin^2 B)$
$\Leftrightarrow \sin^2 (A+B)>\cos^2 A+\cos^2 B$
$\Leftrightarrow \left ( \sin A \cos B + \sin B \cos A \right )^2>\cos^2 A+\cos^2 B$
$\Leftrightarrow \sin^2 A \cos^2 B + \sin^2 B \cos^2 A+ 2\sin A \cos B \sin B \cos A>\cos^2 A+\cos^2 B$
$\Leftrightarrow2\sin A \cos B \sin B \cos A>\cos^2 A(1-\sin^2 B)+\cos^2 B(1-\sin^2 A)$
$\Leftrightarrow2\sin A \cos B \sin B \cos A>\cos^2 A\cos^2 B+\cos^2 B\cos^2 A$
$\Leftrightarrow2\sin A \cos B \sin B \cos A>2\cos^2 A\cos^2 B$
$\Leftrightarrow \cos B\cos A (\cos B\cos A-\sin B \sin A)<0$
$\Leftrightarrow \cos B\cos A \cos (A+B)<0$
$\Leftrightarrow \cos B\cos A \cos C>0$
$\Leftrightarrow \triangle ABC$ nhọn.

Từ bài toán trên ta suy ra: $x>2\times 2=4.\,\,\,\,\,\,\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexman113: 05-02-2013 - 22:43

KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#8 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-02-2013 - 22:39

Bài này chỉ cần tìm 1 giá trị của m thôi ạ? Nếu thế thì có cần thử lại không anh?

Mình đã đem từ pt trên thế thử xuống pt dưới rồi đó bạn.
KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#9 duaconcuachua98

duaconcuachua98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Stamford Bridge

Đã gửi 05-02-2013 - 22:49

Đề thi HSG lớp 10 trường THPT Chuyên Hà Nội-Amsterdam
Thời gian: 90'
Bài 1:
Cho $a,n\in \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn $(a+1)^3-a^3=n^2$
Chứng minh rằng $n$ là tổng của hai số chính phương liên tiếp


Ta có phương trình đã cho $\Leftrightarrow 3a^{2}+3a+1=n^{2}$
$\bullet$ Với $a> 0$ hoặc $a<-1$ ta có: $(2a)^{2}< 3a^{2}+3a+1< (2a+1)^{2}$ (không xảy ra)
Suy ra $-1\leq a\leq 0\Rightarrow \begin{bmatrix} a=-1 & \\ a=0 & \end{bmatrix}$
$\bullet$ Với $a=-1$ hoặc $a=0$ ta đều có $n=1=0^{2}+1^{2}$
Vậy ta có đpcm.

#10 demonhunter000

demonhunter000

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:the DEMON gate

Đã gửi 06-02-2013 - 00:05

$4a^{2}$ mà nhỏ hơn $3a^{2}+3a+1 \forall a\in Z+$ hả em :luoi:

#11 Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Xem phim.

Đã gửi 06-02-2013 - 17:47

Đề thi HSG lớp 10 trường THPT Chuyên Hà Nội-Amsterdam
Thời gian: 90'
Bài 1:
Cho $a,n\in \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn $(a+1)^3-a^3=n^2$
Chứng minh rằng $n$ là tổng của hai số chính phương liên tiếp


Xét pt $Pell$ : $x^{2}-3y^{2}=1$...

#12 BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sicily Italia !

Đã gửi 06-02-2013 - 19:05

Điều kiện của nghiệm: $x \ne - 2$

Với điều kiện đó, phương trình đầu của hệ tương đương với:

$x^2\left(x + 2\right)^2+4x^2\ge 5\left(x+2\right)^2\\\Leftrightarrow x^4+4x^3+3x^2-20x-20\ge 0\\\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^3+3x^2-20\right)\ge 0\\\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+5x+10\right)\ge 0$
$\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)\ge 0$ vì $\left(x^2+5x+10\right)>0,\forall x$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x\leq-1\\x\geq2\end{array}\right.\,\,\,\,\,\,(2)$

Mặt khác, phương trình thứ hai của hệ tương đương với:
$16m^2+16m\left(x+2\right)+\left(x^2+4\right)^2\\\Leftrightarrow4m+2\left(x+2\right)^2+\left(x^2+4\right)^2-4\left(x+2\right)^2=0\Leftrightarrow\left(4m+2\left(x+2\right)\right)^2+x\left(x-2\right)\left(x^2+2x+8\right)=0\,\,\,\,\,\,(3)$

Do $x^2+2x+8=\left(x+1\right)^2+7>0$ nên $(3)$ chỉ có nghiệm thỏa mãn $0\geq x\geq2\,\,\,\,\,\,(4)$
Từ $(2)$ và $(4)$ suy ra $x = 2$ (có thể) là nghiệm của hệ đã cho;
Thay vào $(3)$ ta có: $m=-2.$
Vậy: $\boxed{m=-2}\,\,\,\,\blacksquare$

Bài này sai hẳn thì phải,bạn thử so sánh kết quả với link mà anh Ispectorgadged đưa coi.Bạn coi lại những chỗ bôi đỏ nhé
~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~

#13 tienvuviet

tienvuviet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 180 Bài viết

Đã gửi 08-09-2013 - 20:18

Bài này sai hẳn thì phải,bạn thử so sánh kết quả với link mà anh Ispectorgadged đưa coi.Bạn coi lại những chỗ bôi đỏ nhé

Bài ở link đó khác bài này, đọc cho kỹ đi chớ



#14 PT42

PT42

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Ninh, K48A1T

Đã gửi 21-09-2013 - 09:47

Bài 1 

$(a + 1)^{3} - a^{3} = n^{2}$

$\Leftrightarrow 3a^{2} + 3a + 1 = n^{2}$

$\Leftrightarrow 3 (4a^{2} + 4a + 1) + 1 = 4n^{2}$

$\Leftrightarrow 3(2a + 1)^{2} + 1 = (2n)^{2}$ (1)

Đặt $\left\{\begin{matrix} 2n = x\\2a + 1 = y \end{matrix}\right.$ thì x, y cũng là số nguyên dương và phương trình (1) trở thành $x^{2} - 3y^{2} = 1$ 

Phương trình Pell $x^{2} - 3y^{2} = 1$ có nghiệm tổng quát x là $x_{k} = \frac{(2 - \sqrt{3})^{k} + (2 + \sqrt{3})^{k}}{2}$

và $x_{k}$ là dãy số : $\left\{\begin{matrix} x_{1} = 2\\x_{2} = 7 \\x_{k + 2} = 4x_{k + 1} - x_{k} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x_{k + 2} \equiv x_{k} (mod 2)$ $\Rightarrow x_{2k + 1}$ là số chẵn, $x_{2k}$ là số lẻ

$\Rightarrow$ Để 2n = $x_{k}$ thì k là số lẻ hay $n = x_{2k + 1}$

$\Rightarrow n = \frac{(2 + \sqrt{3})^{2k + 1} + (2 - \sqrt{3})^{2k + 1}}{4}$

$\Rightarrow 2n - 1 = \frac{1}{2}. \left ( \left ( \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}\right )^{2. (2k + 1)} + \left ( \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \right )^{2. ( 2k + 1)} - 2 \right )$

= $\left (\frac{1}{\sqrt{2}} \left (\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} \right )^{2k + 1} - \frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \right )^{2k + 1} \right )^{2}$

= $\left ( \frac{\sqrt{3} + 1}{2}. (2 + \sqrt{3})^{k} - \frac{\sqrt{3} - 1}{2}. (2 - \sqrt{3})^{k} \right )^{2}$

(đặt) = $u_{k}^{2}$

 

Ta có $\left\{\begin{matrix} u_{1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}. (2 + \sqrt{3}) - \frac{\sqrt{3} -1}{2}. (2 - \sqrt{3}) = 5\\u_{2} = \frac{\sqrt{3} +1}{2}. (7 + 4\sqrt{3}) - \frac{\sqrt{3} - 1}{2} . (7 - 4\sqrt{3}) = 19 \\u_{k + 2} = 4u_{k + 1} - u_{k} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow u_{k}$ là số lẻ với mọi k nguyên dương.

 

Đặt $u_{k} = 2b + 1$ với b nguyên dương ta có :

$2n - 1 = (2b + 1)^{2}$

$\Rightarrow n = 2b^{2} + 2b + 1 = b^{2} + (b + 1)^{}$ hay n là tổng của 2 số chính phương liên tiếp.


Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)

 

Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh