Chủ đề này có 6 trả lời

[thanhelf96]

1) Cho dãy (Un) có hệ sô khác 0.
$\frac{1}{U_{1}.U_{2}}+\frac{1}{U_{2}U_{3}}+...+\frac{1}{U_{k-1}U_{k}}= \frac{k-1}{U_{1}.U_{k}},\forall k\geq 3$
Chứng minh rằng dãy số đã cho là cấp số cộng.

2) Cho $U_{n}=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}\left ( n\epsilon N^{*} \right )$.
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn khi $n\rightarrow +\infty$
MOD : Chú ý tiêu đề.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 05-02-2013 - 21:04

[snowwhite]

Bài 2 có giới hạn là e-1

[thanhelf96]

Bài 2 có giới hạn là e-1

bạn có thể trình bày chi tiết giúp mình được k?

[phanquockhanh]

2) Cho $U_{n}=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}\left ( n\epsilon N^{*} \right )$.
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn khi $n\rightarrow +\infty$
MOD : Chú ý tiêu đề.

Nhận thấy:$u_{n+1}> u_{n}$, do đó $ ( u_{n})$ là dãy đơn điệu tăng
Ta cm $u_{n}< 2,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$(1)
Thật vậy (1) đúng với n=1,2
Mặt khác:
3!=2.3$> 2^{2}$,$4!= 2.3.4> 2^{3};...;n!=1.2.3.4...n> 2^{n-1}$(Quy nạp)
Do đó:$u_{n}=1+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{n}}$$= \frac{1-\frac{1}{2^{n}}}{1-\frac{1}{2}}= 2\left ( 1-\frac{1}{2^{n}} \right )< 2\Rightarrow u_{n}< 2,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$
Dãy ($u_{n}$) tăng và bị chặn trên bởi 2 nên tồn tại giới hạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 14-02-2013 - 22:16

[faraanh]

1) Cho dãy (Un) có hệ sô khác 0.
$\frac{1}{U_{1}.U_{2}}+\frac{1}{U_{2}U_{3}}+...+\frac{1}{U_{k-1}U_{k}}= \frac{k-1}{U_{1}.U_{k}},\forall k\geq 3$ (*)
Chứng minh rằng dãy số đã cho là cấp số cộng.

vậy bài 1 làm thế nào vậy bạn?

bài 1 mình chứng minh bằng quy nạp cũng được:
giả sử $(u_n)$ là csc có công sai d
với k=3 thì (*) đúng
ta phải cm (*) cũng đúng khi $K\geq 3$ tức là: $\frac{1}{u_1u_2}+\frac{1}{u_2u_3}+...+\frac{1}{u_{k-1}u_k}+\frac{1}{u_ku_{k+1}}=\frac{k}{u_1u_{k+1}}$
thật vây: $VT=\frac{1}{u_1u_2}+\frac{1}{u_2u_3}+...+\frac{1}{u_{k-1}u_k}+\frac{1}{u_ku_{k+1}}=\frac{k-1}{u_1u_k}+\frac{1}{u_ku_{k+1}}=\frac{(k-1)u_{k+1}+u_1}{u_1u_ku_{k+1}}=\frac{ku_k}{u_1u_ku_{k+1}}=\frac{k}{u_1u_{k+1}}$

[thanhelf96]

Nhận thấy:$u_{n+1}> u_{n}$, do đó $ ( u_{n})$ là dãy đơn điệu tăng
Ta cm $u_{n}< 2,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$(1)
Thật vậy (1) đúng với n=1,2
Mặt khác:
3!=2.3$> 2^{2}$,$4!= 2.3.4> 2^{3};...;n!=1.2.3.4...n> 2^{n-1}$(Quy nạp)
Do đó:$u_{n}=1+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{n}}$$= \frac{1-\frac{1}{2^{n}}}{1-\frac{1}{2}}= 2\left ( 1-\frac{1}{2^{n}} \right )< 2\Rightarrow u_{n}< 2,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$
Dãy ($u_{n}$) tăng và bị chặn trên bởi 2 nên tồn tại giới hạn.

bạn ơi có thể cho mình hỏi tại sao lại chọn con số 2 mà k phải là một số khác không?

[faraanh]

bạn ơi có thể cho mình hỏi tại sao lại chọn con số 2 mà k phải là một số khác không?

theo mình thì lí do chọn con số 2 bởi vì bắt đầu từ 3! để đánh giá trở đi, chọn số 2 (không đổi) để áp dụng tổng của một cấp số nhân.