Prove that for every prime number p, we can find some positive integer n such that $6^{n}+3^{n}+2^{n}-1$ is divisible by p
#2
Đã gửi 05-02-2013 - 21:37
dorabesu
-
- Thành viên
-
- 167 Bài viết
Trung sĩ
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p, chúng ta có thể tìm thấy một số số nguyên dương n sao cho $6^n+3^n+2^n-1$ chia hết cho p.
P/s : sợ bác này quá
P/s : sợ bác này quá
#3
Đã gửi 05-02-2013 - 22:02
chrome98
-
- Thành viên
-
- 258 Bài viết
Mãi Mãi Việt Nam
Giải:
Ý tưởng là dùng định lý Fermat nhỏ và $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=1$ và sử dụng $a\equiv \frac{1}{b}\mod p\Leftrightarrow ab\equiv 1\mod p$
Với $p=2$ thì rõ ràng là "có".
Xét trong $p=3$, ta chọn $n=4$ thỏa mãn. Xét $p>3\Rightarrow \gcd(p,2)=\gcd(p,3)=\gcd(p,6)=1$
Ta chọn $n=p-2$, ta có: $6^n+3^n+2^n-1\equiv 6^{p-2}+3^{p-2}+2^{p-2}-1\equiv \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-1\equiv 0\mod p$.
$\Longrightarrow$ Rõ ràng $n$ có tồn tại.
Ý tưởng là dùng định lý Fermat nhỏ và $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=1$ và sử dụng $a\equiv \frac{1}{b}\mod p\Leftrightarrow ab\equiv 1\mod p$
Với $p=2$ thì rõ ràng là "có".
Xét trong $p=3$, ta chọn $n=4$ thỏa mãn. Xét $p>3\Rightarrow \gcd(p,2)=\gcd(p,3)=\gcd(p,6)=1$
Ta chọn $n=p-2$, ta có: $6^n+3^n+2^n-1\equiv 6^{p-2}+3^{p-2}+2^{p-2}-1\equiv \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-1\equiv 0\mod p$.
$\Longrightarrow$ Rõ ràng $n$ có tồn tại.
- nguyenta98 và LotusSven thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
