CUỘC THI BẤT ĐẲNG THỨC CHÀO NĂM MỚI CỦA BOXMATH
Đây là ba bài toán trong cuộc thi trên.Mem VMF hãy thử sức nhéBài 1: Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $3abc\geq ab+bc+ca$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1}{\sqrt{a}}+ \dfrac{1}{\sqrt{b}}+ \dfrac{1}{\sqrt{c}} \geq \dfrac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}(a^3+b^3+c^3)}$$
Bài 2:
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thoả mãn : $3b^2c^2+a^2=2(bc+a)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P=a^2+\dfrac{4}{(a+b)^2}+ \dfrac{4}{(a+c)^2}$$
Bài 3:
Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Đặt $x_n=a^n+b^n+c^n$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{x_{n+3}}{x_n} \leq (\dfrac{x_{n+2}}{x_{n+1}})^3$$