Chủ đề này có 2 trả lời

[phanquockhanh]

Cho dãy $(x_{n})$:$x_{0}=1,x_{1}=1,x_{n+1}=4x_{n}-x_{n-1},\forall n\in \mathbb{N}^{*}$.
và dãy số $(y_{n}):y_{0}=1,y_{1}=2,y_{n+1}=4y_{n}-y_{n-1},\forall n\in \mathbb{N}^{*}$.Chứng minh rằng:
$y_{n}^{2}=3x_{n}^{2}+1,\forall n\in \mathbb{N}$

[chrome98]

Giải:
Ta có số hạng tổng quát của dãy $(x_n)$ là $x_n=(\frac{3-\sqrt{3}}{6})(2+\sqrt{3})^n+(\frac{3+\sqrt{3}}{6})(2-\sqrt{3})^n$
Tương tự, số hạng tổng quát của dãy $(y_n)$ là $y_n=\frac{1}{2}((2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n)$
Đến đây, ta chỉ việc thay vào và suy ra $y_n^2=3x_n^2+1,\forall n\in \mathbb{N}$.

[Secrets In Inequalities VP]

Giải:
Ta có số hạng tổng quát của dãy $(x_n)$ là $x_n=(\frac{3-\sqrt{3}}{6})(2+\sqrt{3})^n+(\frac{3+\sqrt{3}}{6})(2-\sqrt{3})^n$
Tương tự, số hạng tổng quát của dãy $(y_n)$ là $y_n=\frac{1}{2}((2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n)$
Đến đây, ta chỉ việc thay vào và suy ra $y_n^2=3x_n^2+1,\forall n\in \mathbb{N}$.

$2$ dãy trên là dãy nghiệm của pt $Pell$ : $a^{2}-3b^{2}=1$ từ đó dễ suy ra đpcm