Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$a_{n}$ là số nguyên dương,$\forall n\in \mathbb{N}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 phanquockhanh

phanquockhanh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển
  • Sở thích:Toán học và cuộc sống

Đã gửi 06-02-2013 - 10:21

Cho dãy số $(a_{n})$:$(a_{n})\left\{\begin{matrix} a_{0}=1\\ a_{n}=(7a_{n-1}+\sqrt{45a_{n-1}^{2}-36})\div 2,\forall n\in \mathbb{N}^{*} \end{matrix}\right.$
Chứng minh:
a)$a_{n}$ là số nguyên dương,$\forall n\in \mathbb{N}$
b)$a_{n+1}a_{n}-1$ là số chính phương,$\forall n\in \mathbb{N}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 06-02-2013 - 10:22


#2 Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Xem phim.

Đã gửi 06-02-2013 - 17:26

Cho dãy số $(a_{n})$:$(a_{n})\left\{\begin{matrix} a_{0}=1\\ a_{n}=(7a_{n-1}+\sqrt{45a_{n-1}^{2}-36})\div 2,\forall n\in \mathbb{N}^{*} \end{matrix}\right.$
Chứng minh:
a)$a_{n}$ là số nguyên dương,$\forall n\in \mathbb{N}$
b)$a_{n+1}a_{n}-1$ là số chính phương,$\forall n\in \mathbb{N}$

a) Bằng qui nạp dễ cm $({a_n})$ là dãy tăng.
Từ hệ thức ban đầu ta suy ra : $$(2a_{n}-7a_{n-1})^{2}= 45a_{n-1}-36$$
Rút gọn ta được : $$2a_{n}^{2}-7a_{n}a_{n-1}+2a_{n-1}^{2}+18=0$$
Thay $n$ bởi $n+1$ :$$2a_{n+1}^{2}-7a_{n+1}a_{n}+2a_{n}^{2}+18=0$$
Trừ từng vế $$\Rightarrow 2a_{n+1}^{2}-2a_{n-1}^{2}+7a_{n}(a_{n-1}-a_{n+1})= 0$$
$$\Rightarrow (a_{n+1}-a_{n-1})(2a_{n+1}-7a_{n}+2a_{n-1})= 0$$
Vì $({a_n})$ là dãy tăng nên $a_{n+1}-a_{n-1}> 0\Rightarrow 2a_{n+1}-7a_{n}+2a_{n-1}=0$
Từ hệ thức này kết hợp qui nạp dễ thấy $Q.E.D$

b) Ta có : $a_{0}=1;a_{1}=5;a_{2}=34;2a_{n+1}-7a_{n}+2a_{n-1}=0$
Qui nạp một tí là ra : $a_{n+1}a_{n-1}-a_{n}^{2}=9$
Thêm bớt thành hằng đẳng thức tí nữa là ra .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 06-02-2013 - 17:27





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh