Chủ đề này có 1 trả lời

[phanquockhanh]

Cho dãy số $(a_{n})$:$(a_{n})\left\{\begin{matrix} a_{0}=1\\ a_{n}=(7a_{n-1}+\sqrt{45a_{n-1}^{2}-36})\div 2,\forall n\in \mathbb{N}^{*} \end{matrix}\right.$
Chứng minh:
a)$a_{n}$ là số nguyên dương,$\forall n\in \mathbb{N}$
b)$a_{n+1}a_{n}-1$ là số chính phương,$\forall n\in \mathbb{N}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 06-02-2013 - 10:22

[Secrets In Inequalities VP]

Cho dãy số $(a_{n})$:$(a_{n})\left\{\begin{matrix} a_{0}=1\\ a_{n}=(7a_{n-1}+\sqrt{45a_{n-1}^{2}-36})\div 2,\forall n\in \mathbb{N}^{*} \end{matrix}\right.$
Chứng minh:
a)$a_{n}$ là số nguyên dương,$\forall n\in \mathbb{N}$
b)$a_{n+1}a_{n}-1$ là số chính phương,$\forall n\in \mathbb{N}$

a) Bằng qui nạp dễ cm $({a_n})$ là dãy tăng.
Từ hệ thức ban đầu ta suy ra : $$(2a_{n}-7a_{n-1})^{2}= 45a_{n-1}-36$$
Rút gọn ta được : $$2a_{n}^{2}-7a_{n}a_{n-1}+2a_{n-1}^{2}+18=0$$
Thay $n$ bởi $n+1$ :$$2a_{n+1}^{2}-7a_{n+1}a_{n}+2a_{n}^{2}+18=0$$
Trừ từng vế $$\Rightarrow 2a_{n+1}^{2}-2a_{n-1}^{2}+7a_{n}(a_{n-1}-a_{n+1})= 0$$
$$\Rightarrow (a_{n+1}-a_{n-1})(2a_{n+1}-7a_{n}+2a_{n-1})= 0$$
Vì $({a_n})$ là dãy tăng nên $a_{n+1}-a_{n-1}> 0\Rightarrow 2a_{n+1}-7a_{n}+2a_{n-1}=0$
Từ hệ thức này kết hợp qui nạp dễ thấy $Q.E.D$

b) Ta có : $a_{0}=1;a_{1}=5;a_{2}=34;2a_{n+1}-7a_{n}+2a_{n-1}=0$
Qui nạp một tí là ra : $a_{n+1}a_{n-1}-a_{n}^{2}=9$
Thêm bớt thành hằng đẳng thức tí nữa là ra .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 06-02-2013 - 17:27