3 replies to this topic

[caokhanh97]

Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Cmr : $\frac{1}{x^{2}+x+1} + \frac{1}{y^{2}+y+1}+ \frac{1}{z^{2}+z+1} \geq 1$

Edited by caokhanh97, 06-02-2013 - 19:59.

[Atu]

Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Cmr : $\frac{1}{x^{2}+x+1} + \frac{1}{y^{2}+y+1}+ \frac{1}{z^{2}+z+1} \geq 1$

Đặt $x=\frac{ab}{c^{2}};y=\frac{bc}{a^{2}};z=\frac{ca}{b^{2}}$, bài toán trở thành:
$\sum \frac{c^{4}}{a^{2}b^{2}+abc^{2}+c^{4}}\geq 1$
Thật vậy, ta có:
$ \sum \frac{c^{4}}{a^{2}b^{2}+abc^{2}+c^{4}}\geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{\sum a^{4}+abc(a+b+c)+\sum a^{2}b^{2}}\geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{\sum a^{4}+2\sum a^{2}b^{2}}=1$

Edited by Atu, 08-02-2013 - 20:12.

[chinhanh9]

Đặt $x=\frac{ab}{c^{2}};y=\frac{bc}{a^{2}};z=\frac{ca}{b^{2}}$, bài toán trở thành:
$\sum \frac{c^{4}}{a^{2}b^{2}+abc^{2}+c^{4}}\geq 1$
Thật vậy, ta có:
$ \sum \frac{c^{4}}{a^{2}b^{2}+abc^{2}+c^{4}}\geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{\sum a^{4}+abc(a+b+c)+\sum a^{2}b^{2}}\geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}}=1$

Chỗ này có vấn đề không mọi người

[nthoangcute]

[/color]
Chỗ này có vấn đề không mọi người

Thực ra là:


$ \sum \frac{c^{4}}{a^{2}b^{2}+abc^{2}+c^{4}}\geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{\sum a^{4}+abc(a+b+c)+\sum a^{2}b^{2}}\geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{\sum a^{4}+2\sum a^{2}b^{2}}=1$