Chủ đề này có 4 trả lời

[dorabesu]

Cho hai đường kính $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau trong đường tròn $(O)$. Điểm $E$ thuộc cung $AD$ nhỏ. $EC$ cắt $AO$ tại $M$; $EB$ cắt $CO$ tại $N$. Chứng minh rằng : $\frac{OM}{AM}.\frac{ON}{ND}$ không đổi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 16-02-2013 - 08:04

[tuanbi97]

Theo minh` lam` thế nay`:

$\Delta{AME} \sim \Delta{CBE}$
$=> \frac{AE}{EC}=\frac{AM}{BC}$
$\Delta{EMB} \sim \Delta{EAC}$
$<=> \frac{EB}{EC}=\frac{BM}{AC}
<=>AE+EB=\frac{EC}{cos 45}=EC\sqrt{2}
<=>\frac{AE}{EB}=\frac{EC\sqrt{2}}{EB}-1
<=>\frac{AM}{MB}=\frac{EC\sqrt{2}-EB}{EB}
<=>\frac{BM}{AM}=\frac{EB}{EC\sqrt{2}-EB}
<=>\frac{2AO}{AM}=\frac{EC\sqrt{2}}{EC\sqrt{2}-EB}
<=>\frac{AO}{AM}=\frac{EC\sqrt{2}}{2EC\sqrt{2}-2EB}
<=>\frac{OM}{AM}=\frac{2EB-EC\sqrt{2}}{2EC\sqrt{2}-2EB}$
CMTT $\frac{ON}{DN}=\frac{2EC-EB\sqrt{2}}{2EB\sqrt{2}-2EC}$
Vậy $\frac{OM}{AM}.\frac{ON}{DN}$
$=\frac{2EB-EC\sqrt{2}}{2EC\sqrt{2}-2EB}.\frac{2EC-EB\sqrt{2}}{2EB\sqrt{2}-2EC}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}EB-EC}{EC\sqrt{2}-EB}.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}EC-EB}{EB\sqrt{2}-EC}$
$=\frac{1}{2} (đpcm)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuanbi97: 08-02-2013 - 20:40

[dorabesu]

Có thể dùng công thức $S=\frac{1}{2}sin\alpha.bc$ nữa đấy. Hoặc dùng tam giác đồng dạng nhưng đơn giản hơn nhiều.

[dorabesu]

nhu the nao may

Tao post cho :
Cách 1 :
Có $\Delta OCM\sim \Delta ECD$ ( vì $\hat{COM}=\hat{CDE}=90^o$ và chung $\hat{C}$ )
$\Rightarrow \frac{OM}{CM}=\frac{ED}{CD}\Rightarrow OM=\frac{CM.ED}{CD}$ (1)
Lại có : $\Delta CMA\sim \Delta CAE$ ( vì $\hat{CAM}=\hat{CEA}=\frac{1}{2}sđ\hat{CB}=\frac{1}{2}sđ\hat{CA}$ và $\hat{C}$ chung )
$\Rightarrow \frac{AM}{MC}=\frac{AE}{AC}\Rightarrow AM=\frac{AE.MC}{AC}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{OM}{AM}=\frac{ED.AC}{CD.MC}$
Rồi làm tương tự cho $\frac{ON}{ND}$ ...

[dorabesu]

Cách 2 :
Ta có : $\frac{ON}{ND}=\frac{S_{NOB}}{S_{NDB}}=\frac{OB.NB.\frac{1}{2}sin\hat{OBN}}{DB.NB.\frac{1}{2}sin\hat{DBN}}$
Tương tự $\frac{OM}{AM}=\frac{S_{COM}}{S_{CAM}}=\frac{CM.CO.\frac{1}{2}sin\hat{MCO}}{AC.CM.\frac{1}{2}sin\hat{ACM}}$
Nhân 2 cái với nhau, kết hợp với $\hat{MCO}=\hat{DBN}$ và $\hat{ACM}=\hat{OBN}$ là ra ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dorabesu: 11-02-2013 - 21:53