Đến nội dung

Hình ảnh

Cmr : $\frac{3a^2}{5a^2+(b+c)^2}+\frac{3b^2}{5b^2+(c+a)^2}+\frac{3c^2}{5c^2+(a+b)^2}\leq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
dorabesu

dorabesu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
Cmr : $\frac{3a^2}{5a^2+(b+c)^2}+\frac{3b^2}{5b^2+(c+a)^2}+\frac{3c^2}{5c^2+(a+b)^2}\leq 1$ với $a,b,c>0$

#2
tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết

Cmr : $\frac{3a^2}{5a^2+(b+c)^2}+\frac{3b^2}{5b^2+(c+a)^2}+\frac{3c^2}{5c^2+(a+b)^2}\leq 1$ với $a,b,c>0$

Áp dụng C-S:
$\frac{9a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}\leq \frac{(a+a+a)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2a^{2}+bc+2a^{2}+bc}\leq \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2a^{2}}{2a^{2}+bc}$
Thực hiện 2 bđt tương tự, ta sẽ đưa bài toán về việc chứng minh:
$\frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+ac}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+ab}\leq 1$
Ta có
$\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}=\sum \frac{a^{2(\frac{(b+c)^{2}}{2}+bc)}}{(2a^{2}+bc)(\frac{(b+c)^{2}}{2}+bc)}\leq \sum \frac{1}{2}\frac{a^{2}(b^{2}+c^{2}+4bc)}{(ab+bc+ca)^{2}}$
Ta sẽ chứng minh:
$\sum \frac{a^{2}(b^{2}+c^{2}+4bc)}{(ab+bc+ca)^{2}}\leq 2$
Tới đây chứng minh tương đương là ra

#3
provotinhvip

provotinhvip

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết

$$\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}=\sum \frac{a^{2(\frac{(b+c)^{2}}{2}+bc)}}{{\color{Red} (2a^{2}+bc)(\frac{(b+c)^{2}}{2}+bc)}}\leq \sum \frac{1}{2}\frac{a^{2}(b^{2}+c^{2}+4bc)}{(ab+bc+ca)^{2}}$$

Có thể giải thích rõ chỗ này được không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi provotinhvip: 08-02-2013 - 11:41

Hình đã gửi


#4
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

Áp dụng C-S:
Thực hiện 2 bđt tương tự, ta sẽ đưa bài toán về việc chứng minh:
$\frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+ac}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+ab}\leq 1$

$\frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+ac}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+ab}=\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}=\frac{1}{2}\sum (1-\frac{bc}{2a^2+bc})=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sum \frac{bc}{2a^2+bc}\leq \frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\frac{(bc+ca+ab)^2)}{\sum(bc(2a^2+bc))}=1$

$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#5
tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết

Có thể giải thích rõ chỗ này được không?

C-S cái phân số đó bạn




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh