Chủ đề này có 7 trả lời

[Forgive Yourself]

Chứng minh rằng:
a) $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{d^2}+\frac{d^2}{a^2}\geq \frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}$
b) $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$
-------------------------------------
p/s: Đây là một bài trong bài tập tết của mình, nhưng mình lại không thấy điều kiện, mình đưa nguyên si lên để nhờ mọi người giúp, bài này mình nghĩ cần có thêm đk $a,b,c,d$ dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Forgive Yourself: 07-02-2013 - 20:12

[alex_hoang]

Chứng minh rằng:
a) $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{d^2}+\frac{d^2}{a^2}\geq \frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}$
b) $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$
-------------------------------------
p/s: Đây là một bài trong bài tập tết của mình, nhưng mình lại không thấy điều kiện, mình đưa nguyên si lên để nhờ mọi người giúp, bài này mình nghĩ cần có thêm đk $a,b,c,d$ dương

Điều kiện bài này là $a,b,c,d>0$.Hai bài này đều có trên TH&TT nếu nhớ không nhầm là năm 2004.Lời giải đơn giản dựa vào $AM-GM$.Các em thử suy nghĩ nhé

[nghiakvnvsdt]

câu b dễ nhất hihi: Áp dụng BDT AM-GM ta có
$\frac{a}{b} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}$
Xây dựng thêm 2 BĐT tương tự rùi + lại rút gọn cho 3 ta có ngay ĐPCM
Đẳng thức khi $a=b=c$

[dinhthanhhung]

Dễ dàng cm được $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}}\geq \sum \frac{a}{b}$
Ta cần CM : $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}}+ \sum \frac{a}{b}\geq 2\frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}$
Sử dụng BDT AM-GM :$\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a^{3}}{bcd}}=4\frac{a}{\sqrt[4]{abcd}}$
Tương tự và cộng từng vế lại ta có đpcm

[Forgive Yourself]

Dễ dàng cm được $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}}\geq \sum \frac{a}{b}$
Ta cần CM : $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}}+ \sum \frac{a}{b}\geq 2\frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}$
Sử dụng BDT AM-GM :$\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a^{3}}{bcd}}=4\frac{a}{\sqrt[4]{abcd}}$
Tương tự và cộng từng vế lại ta có đpcm

Cho mình hỏi một tí, giả sử $0< \frac{a}{b}\leq 1$ thì làm sao mà $\frac{a^2}{b^2}\geq \frac{a}{b}$ được bạn???

[Forgive Yourself]

Bạn dùng bất đẳng thức sau$a^{2}+b^{2}\geq \frac{(a+b)^{2}}{2}$
sau đó dùng AM-GM

Bạn làm cụ thể dùm mình được không bạn?

[Forgive Yourself]

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{d^2}+\frac{d^2}{a^2}\geq\frac{1}{2}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c})^{2}+\frac{1}{2}(\frac{c}{d}+\frac{d}{a})^{2}\geq \frac{1}{4}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a})^{2}$
AM-GM
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\geq 4\sqrt[4]{\frac{abcd}{abcd}}=4$

Nhưng đề y/c chứng minh khác mà bạn, nó đâu có ra số cụ thể

[dinhthanhhung]

Cho mình hỏi một tí, giả sử $0< \frac{a}{b}\leq 1$ thì làm sao mà $\frac{a^2}{b^2}\geq \frac{a}{b}$ được bạn???

Bạn xem lại nhé .
Tôi bảo cần CM : $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}}\geq \sum \frac{a}{b}$ chứ không bảo CM : $\frac{a^{2}}{b^{2}}\geq \frac{a}{b}$
Nếu bạn không CM được thì đây :
$\frac{a^{2}}{b^{2}}+1\geq \frac{2a}{b}$
Do đó : $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}}+1\geq \sum \frac{2a}{b}$
Mặt khác : $4\leq \sum \frac{a}{b}$
Trừ đi ta có ĐPCM