Chủ đề này có 3 trả lời

[caykhonggian]

Giải bất phương trình sau:

\[\sqrt {x + \frac{3}{x}} + \sqrt {2 - x + \frac{3}{{2 - x}}} \le 4\left( {x \in R} \right)\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanh3570883: 07-02-2013 - 22:11

[nthoangcute]

Giải bất phương trình sau:

\[\sqrt {x + \frac{3}{x}} + \sqrt {2 - x + \frac{3}{{2 - x}}} \le 4\left( {x \in R} \right)\]

Cách 1: Nhân liên hợp:
Ta nhân liên hợp 2 bộ sau:
$$(\sqrt {x + \frac{3}{x}},\left( -2+\sqrt {5} \right) \left( 3+x+2\,\sqrt {5} \right) )\;\;\;\;&\;\;\;\;(\sqrt {2 - x + \frac{3}{{2 - x}}},\left( -2+\sqrt {5} \right) \left( -x+2\,\sqrt {5}+5 \right) )$$
Tức là:
$$\sqrt {x + \frac{3}{x}} + \sqrt {2 - x + \frac{3}{{2 - x}}} -4\\
=\sqrt {x+\dfrac{3}{x}}- \left( -2+\sqrt {5} \right) \left( 3+x+2\,
\sqrt {5} \right) +\sqrt {2-x+\dfrac{3}{2-x }}- \left( -2+\sqrt {5} \right)
\left( -x+2\,\sqrt {5}+5 \right) $$
Vậy:
$$\sqrt {x + \frac{3}{x}} + \sqrt {2 - x + \frac{3}{{2 - x}}} -4 \geq 0
\\ \Leftrightarrow \left( {x}^{2}-2\,x+27+12\,\sqrt {5} \right) \left( x-1 \right)
\left( -2\,\sqrt {5}+2\,x\sqrt {5}+\sqrt {- \left( 7-4\,x+{x}^{2}
\right) \left( 2-x \right) }+\sqrt {x \left( {x}^{2}+3 \right) }
\right) \geq 0
\\\Leftrightarrow \left( x-1 \right)
\left( -2\,\sqrt {5}+2\,x\sqrt {5}+\sqrt {- \left( 7-4\,x+{x}^{2}
\right) \left( 2-x \right) }+\sqrt {x \left( {x}^{2}+3 \right) }
\right) \geq 0

$$
Ta xét hàm $$f(x)= -2\,\sqrt {5}+2\,x\sqrt {5}+\sqrt {- \left( 7-4\,x+{x}^{2}
\right) \left( 2-x \right) }+\sqrt {x \left( {x}^{2}+3 \right) }
\\f'(x)=2\,\sqrt {5}+\dfrac{3}{2}\,{\frac {{x}^{2}-4\,x+5}{\sqrt { \left( 7-4\,x+{x}^{2
} \right) \left( -2+x \right) }}}+\dfrac{1}{2}\,{\frac {3\,{x}^{2}+3}{\sqrt {x
\left( {x}^{2}+3 \right) }}}
>0
$$
Chứng tỏ $f(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm là nghiệm của $f(x)=0$
Mà $f(1)=0$ nên $(x-1)f(x) \geq 0$
Suy ra nghiệm của BPT là: $\{ x | x \in (0,2) \}$
Cách 2: Xét hàm $$f(x)=\sqrt {x + \frac{3}{x}} + \sqrt {2 - x + \frac{3}{{2 - x}}} -4\\
f'(x)=\dfrac{1}{2}\,{\frac {{x}^{2}-3}{\sqrt {x \left( {x}^{2}+3 \right) }x}}-\dfrac{1}{2}\,{
\frac {1-4\,x+{x}^{2}}{\sqrt {- \left( 7-4\,x+{x}^{2} \right) \left(
-2+x \right) } \left( -2+x \right) }}\\
f'(x)=0\Leftrightarrow x=1
$$
Dễ suy ra $f(x)_{\min}=f(1)=0$ nên nghiệm của BPT là: $\{ x | x \in (0,2) \}$
Cách 3:
BĐT Mincopxki ta được:
$$\sqrt {x + \frac{3}{x}} + \sqrt {2 - x + \frac{3}{{2 - x}}}\\ \geq \sqrt { \left( \sqrt {x}+\sqrt {2-x} \right) ^{2}+3\, \left( {\frac {1
}{\sqrt {x}}}+{\frac {1}{\sqrt {2-x}}} \right) ^{2}}
\\ \geq \sqrt { \left( \sqrt {x}+\sqrt {2-x} \right) ^{2}+\dfrac{48}{ \sqrt {x
}+\sqrt {2-x} }}\\
\geq 4$$
Suy ra OK

[minhdat881439]

Giải bất phương trình sau:

\[\sqrt {x + \frac{3}{x}} + \sqrt {2 - x + \frac{3}{{2 - x}}} \le 4\left( {x \in R} \right)\]

Do $x;\frac{1}{x}$ cùng dấu nên $x>0$.Tương tự $2>x$.
Ta sẽ đi chứng minh:$\sqrt{x+\frac{3}{x}}+\sqrt{2-x+\frac{3}{2-x}}\geq 4$ $(1)$
Thật vậy:
Bình phương 2 vế ta có:
$x+\frac{3}{x}+2-x+\frac{3}{2-x}+2\sqrt{(x+\frac{3}{x})(2-x+\frac{3}{2-x})}\geq 16 \Leftrightarrow \frac{3}{x}+\frac{3}{2-x}+2\sqrt{(x+\frac{3}{x})(2-x+\frac{3}{2-x})}\geq 14$
Công việc giờ chỉ chứng minh 2 bđt phụ:
$$(x+\frac{3}{x})(2-x+\frac{3}{2-x})\geq 16\Leftrightarrow x(2-x)+\frac{3x}{2-x}+\frac{6}{x}+\frac{9}{x(2-x)}\geq 19\Leftrightarrow (x-1)^{2}(x^{2}-2x+21)\geq 0$$

Và

$$\frac{3}{x}+\frac{3}{2-x}\geq \frac{3.4}{x+2-x}= 6$$
Từ 2 bđt trên ta có $(1)$ đúng,Vậy $\sqrt{x+\frac{3}{x}}+\sqrt{2-x+\frac{3}{2-x}}=4$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=1$.Vậy $S= \left \{ 1 \right \}$

[caykhonggian]

bai này cũng có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ
bình phương 2 vế xong đặt ẩn phụ là $\frac{1}{x(x+2)}$