Đến nội dung

Hình ảnh

$abc\geq 8$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
chinhanh9

chinhanh9

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết
Cho $a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn:
$abc=a+b+c+2$.
Chứng minh: $abc\geq 8$

>:)  >:)  >:)    HỌC ĐỂ KIẾM TIỀN    >:)  >:)  >:) 


#2
ninhxa

ninhxa

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 139 Bài viết
Áp dụng bdt A-G ta có: $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$
Do đó: $abc\geq 3\sqrt[3]{abc}+2\Leftrightarrow (\sqrt[3]{abc}+1)^{2}(\sqrt[3]{abc}-2)\geq 0\Leftrightarrow \sqrt[3]{abc}\geq 2\Leftrightarrow abc\geq 8$

Thời gian là thứ khi cần thì luôn luôn thiếu.


#3
lovemoon

lovemoon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết
còn 1 cách khác này:
vì a+b+c+2=abc nên tồn tại x,y,z>0 t/m :$a=\frac{y+z}{x},b=\frac{z+x}{y},c=\frac{x+y}{z}$
BĐT cần chứng minh tương đương với :$(x+y)(y+z)(z+x)\geq8xyz$(dễ dàng chứng minh được bằng BĐT AM-GM)
vậy ta có đpcm

#4
chinhanh9

chinhanh9

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

còn 1 cách khác này:
vì a+b+c+2=abc nên tồn tại x,y,z>0 t/m :$a=\frac{y+z}{x},b=\frac{z+x}{y},c=\frac{x+y}{z}$
BĐT cần chứng minh tương đương với :$(x+y)(y+z)(z+x)\geq8xyz$(dễ dàng chứng minh được bằng BĐT AM-GM)
vậy ta có đpcm

Hay quá bạn ơi :wub:
Phát biểu dưới dạng khác:
Bài 1: Cho $a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn:
$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}= 1$
Chứng minh: $abc\geq 8$
Và tương tự đối với 4 biến:
Bài 2: Cho $a,b,c,d\in \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn:
$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{1}{d+1}= 1$
Chứng minh: $abcd\geq 81$
Và bài toán tổng quát:
Bài 3: (VMO)
Cho $x_{1},x_{2},...,x_{n}\in \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn:
$\frac{1}{x_{1}+1}+\frac{1}{x_{2}+1}+...+\frac{1}{x_{n}+1}= 1$
Chứng minh: $x_{1}x_{2}...x_{n}\geq \left ( n-1 \right )^{n}$
Nếu dùng cách của bạn ninhxa thì chỉ giải được đối với bài toán 4 biến trở lại, 5 biến trở lên thì khai triển rất mệt.
Mấy bạn thử xem cách của bạn lovemoon thì sao nhé :luoi: Hay là cần tới một cách khác nữa :wub:

>:)  >:)  >:)    HỌC ĐỂ KIẾM TIỀN    >:)  >:)  >:) 


#5
lovemoon

lovemoon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết
câu 1 chẳng qua chỉ là 1 cách biến đổi khác từ a+b+c=2=abc :lol:
làm thử câu 2 vs cách trên nhé:
đặt:$\frac{1}{a+1}=x,\frac{1}{b+1}=y,\frac{1}{c+1}=z,\frac{1}{d+1}=t \Rightarrow a=\frac{y+z+t}{x},b=\frac{x+z+t}{y},c=\frac{x+y+t}{z},d=\frac{x+y+z}{t}$
bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$(x+y+z)(y+z+t)(z+t+x)(x+t+y)\geq81xyzt$(áp dụng AM-GM 3 số là ra thôi :icon10: )
bài 3 chứng minh tương tự với n số thôi

#6
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

Và bài toán tổng quát:
Bài 3: (VMO)
Cho $x_{1},x_{2},...,x_{n}\in \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn:
$\frac{1}{x_{1}+1}+\frac{1}{x_{2}+1}+...+\frac{1}{x_{n}+1}= 1$
Chứng minh: $x_{1}x_{2}...x_{n}\geq \left ( n-1 \right )^{n}$
Nếu dùng cách của bạn ninhxa thì chỉ giải được đối với bài toán 4 biến trở lại, 5 biến trở lên thì khai triển rất mệt.
Mấy bạn thử xem cách của bạn lovemoon thì sao nhé :luoi: Hay là cần tới một cách khác nữa :wub:

ta có:
$\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{x_{i}+1})=1\Leftrightarrow\frac{x_{1}}{x_{1}+1}= \sum_{i=2}^{n}\frac{1}{x_{i}+1}\geq (n-1)\sqrt[n-1]{\prod_{i=2}^{n}\frac{1}{x_{i}+1}}$
tương tự với các số còn lại và nhân các đẳng thức theo vế ta có dpcm

$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh