Chủ đề này có 6 trả lời

[BlueKnight]

Gọi $a$,$b$,$c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác $ABC$ và $h_{a},h_{b},h_{c}$ là 3 đường cao tương ứng. Tìm tính chất của tam giác $ABC$ khi biểu thức $S=\frac{h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}}{(a+b+c)^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.

[dark templar]

Gọi $a$,$b$,$c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác $ABC$ và $h_{a},h_{b},h_{c}$ là 3 đường cao tương ứng. Tìm tính chất của tam giác $ABC$ khi biểu thức $S=\frac{h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}}{(a+b+c)^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Gợi ý hướng giải :

• Chứng minh $S \le \frac{1}{4}$,đẳng thức có được khi tam giác đều.
• Đưa BĐT về dạng $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$.
• Chứng minh $\frac{1}{a^2} \le \frac{1}{4(p-b)(p-c)}$ và $r^2=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}$;trong đó $p$ là nửa chu vi.

[BlueKnight]

Gợi ý hướng giải :

• Chứng minh $S \le \frac{1}{4}$,đẳng thức có được khi tam giác đều.
• Đưa BĐT về dạng $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$.
• Chứng minh $\frac{1}{a^2} \le \frac{1}{4(p-b)(p-c)}$ và $r^2=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}$;trong đó $p$ là nửa chu vi.

anh có thể nói cụ thể hơn vì sao $S$ $\leq$ $\frac{1}{4}$ không ạ

[dark templar]

anh có thể nói cụ thể hơn vì sao $S$ $\leq$ $\frac{1}{4}$ không ạ

Cái đó là dự đoán.Vì thường các biểu thức chứa các đại lượng trong tam giác như thế này sẽ đạt lớn nhất hay nhỏ nhất khi tam giác đều (cái này là hầu hết thôi,cũng có một số bài không như vậy)

[BlueKnight]

Gợi ý hướng giải :

• Chứng minh $S \le \frac{1}{4}$,đẳng thức có được khi tam giác đều.
• Đưa BĐT về dạng $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$.
• Chứng minh $\frac{1}{a^2} \le \frac{1}{4(p-b)(p-c)}$ và $r^2=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}$;trong đó $p$ là nửa chu vi.

Sao từ BĐT $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$ mà suy ra được $S \le \frac{1}{4}$ vậy a

[DarkBlood]

Gọi $a$,$b$,$c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác $ABC$ và $h_{a},h_{b},h_{c}$ là 3 đường cao tương ứng. Tìm tính chất của tam giác $ABC$ khi biểu thức $S=\frac{h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}}{(a+b+c)^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Gọi các cạnh của tam giác là $AB,$ $AC,$ $BC$ và các chiều cao tương ứng lần lượt là $CC',$ $BB',$ $AA'.$
Trên nửa mặt phẳng chứa điểm $A,$ dựng tia $Cx$ vuông góc với $CC'.$ Lấy điểm $D$ đối xứng với $A$ qua $Cx.$
Chứng minh được tam giác $ABD$ vuông tại $A,$ $AC=CD$ và $AD=2CC'.$

Xét $3$ điểm $B,$ $C,$ $D,$ ta có:
$BD\leq BC+CD$

$\Leftrightarrow$ $BD^2\leq (BC+CD)^2$

$\Leftrightarrow$ $AB^2+AD^2\leq (BC+AC)^2$

$\Leftrightarrow$ $AB^2+4CC'^2\leq (BC+AC)^2$

$\Leftrightarrow$ $4CC'^2\leq (BC+AC)^2-AB^2$

Tương tự: $4AA'^2\leq (AB+AC)^2-BC^2$

$4BB'^2\leq (AB+BC)^2-AC^2$

Cộng vế theo vế, rút gọn ta được:

$4(AA'^2+BB'^2+CC'^2)\leq (AB+BC+CA)^2$

$\Leftrightarrow$ $\frac{(AB+BC+CA)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\geq 4$

$\Leftrightarrow$ $\frac{AA'^2+BB'^2+CC'^2}{(AB+BC+CA)^2}\leq \frac{1}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $AB=BC=CA$ hay tam giác $ABC$ là tam giác đều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 09-02-2013 - 14:15

[dark templar]

Sao từ BĐT $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$ mà suy ra được $S \le \frac{1}{4}$ vậy a

Gợi ý tiếp này :

• Công thức diện tích-đường cao:$h_{a}=\frac{2S}{a}$.
• Công thức Herone :$S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$.
• Công thức $S=pr$.

P.s:Luôn khuyến khích các lời giải bằng Hình học,như #6