Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm tính chất của tam giác $ABC$ khi biểu thức $S=\frac{h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}}{(a+b+c)^{2}}$ đạt giá trị lớn


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 BlueKnight

BlueKnight

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK

Đã gửi 09-02-2013 - 09:21

Gọi $a$,$b$,$c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác $ABC$ và $h_{a},h_{b},h_{c}$ là 3 đường cao tương ứng. Tìm tính chất của tam giác $ABC$ khi biểu thức $S=\frac{h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}}{(a+b+c)^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Nếu thấy bài đúng các bạn Like giúp mình nhé!

:namtay  :namtay  :namtay  :luoi:  :luoi:  :luoi:  :namtay  :namtay  :namtay 


#2 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 09-02-2013 - 12:06

Gọi $a$,$b$,$c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác $ABC$ và $h_{a},h_{b},h_{c}$ là 3 đường cao tương ứng. Tìm tính chất của tam giác $ABC$ khi biểu thức $S=\frac{h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}}{(a+b+c)^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Gợi ý hướng giải :
  • Chứng minh $S \le \frac{1}{4}$,đẳng thức có được khi tam giác đều.
  • Đưa BĐT về dạng $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$.
  • Chứng minh $\frac{1}{a^2} \le \frac{1}{4(p-b)(p-c)}$ và $r^2=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}$;trong đó $p$ là nửa chu vi.

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#3 BlueKnight

BlueKnight

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK

Đã gửi 09-02-2013 - 12:21

Gợi ý hướng giải :

  • Chứng minh $S \le \frac{1}{4}$,đẳng thức có được khi tam giác đều.
  • Đưa BĐT về dạng $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$.
  • Chứng minh $\frac{1}{a^2} \le \frac{1}{4(p-b)(p-c)}$ và $r^2=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}$;trong đó $p$ là nửa chu vi.

anh có thể nói cụ thể hơn vì sao $S$ $\leq$ $\frac{1}{4}$ không ạ

Nếu thấy bài đúng các bạn Like giúp mình nhé!

:namtay  :namtay  :namtay  :luoi:  :luoi:  :luoi:  :namtay  :namtay  :namtay 


#4 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 09-02-2013 - 12:32

anh có thể nói cụ thể hơn vì sao $S$ $\leq$ $\frac{1}{4}$ không ạ

Cái đó là dự đoán.Vì thường các biểu thức chứa các đại lượng trong tam giác như thế này sẽ đạt lớn nhất hay nhỏ nhất khi tam giác đều (cái này là hầu hết thôi,cũng có một số bài không như vậy)
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#5 BlueKnight

BlueKnight

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK

Đã gửi 09-02-2013 - 13:12

Gợi ý hướng giải :

  • Chứng minh $S \le \frac{1}{4}$,đẳng thức có được khi tam giác đều.
  • Đưa BĐT về dạng $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$.
  • Chứng minh $\frac{1}{a^2} \le \frac{1}{4(p-b)(p-c)}$ và $r^2=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}$;trong đó $p$ là nửa chu vi.

Sao từ BĐT $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$ mà suy ra được $S \le \frac{1}{4}$ vậy a

Nếu thấy bài đúng các bạn Like giúp mình nhé!

:namtay  :namtay  :namtay  :luoi:  :luoi:  :luoi:  :namtay  :namtay  :namtay 


#6 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-02-2013 - 14:14

Gọi $a$,$b$,$c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác $ABC$ và $h_{a},h_{b},h_{c}$ là 3 đường cao tương ứng. Tìm tính chất của tam giác $ABC$ khi biểu thức $S=\frac{h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}}{(a+b+c)^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Hình đã gửi
Gọi các cạnh của tam giác là $AB,$ $AC,$ $BC$ và các chiều cao tương ứng lần lượt là $CC',$ $BB',$ $AA'.$
Trên nửa mặt phẳng chứa điểm $A,$ dựng tia $Cx$ vuông góc với $CC'.$ Lấy điểm $D$ đối xứng với $A$ qua $Cx.$
Chứng minh được tam giác $ABD$ vuông tại $A,$ $AC=CD$ và $AD=2CC'.$

Xét $3$ điểm $B,$ $C,$ $D,$ ta có:
$BD\leq BC+CD$

$\Leftrightarrow$ $BD^2\leq (BC+CD)^2$

$\Leftrightarrow$ $AB^2+AD^2\leq (BC+AC)^2$

$\Leftrightarrow$ $AB^2+4CC'^2\leq (BC+AC)^2$

$\Leftrightarrow$ $4CC'^2\leq (BC+AC)^2-AB^2$

Tương tự: $4AA'^2\leq (AB+AC)^2-BC^2$

$4BB'^2\leq (AB+BC)^2-AC^2$

Cộng vế theo vế, rút gọn ta được:

$4(AA'^2+BB'^2+CC'^2)\leq (AB+BC+CA)^2$

$\Leftrightarrow$ $\frac{(AB+BC+CA)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\geq 4$

$\Leftrightarrow$ $\frac{AA'^2+BB'^2+CC'^2}{(AB+BC+CA)^2}\leq \frac{1}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $AB=BC=CA$ hay tam giác $ABC$ là tam giác đều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 09-02-2013 - 14:15


#7 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 09-02-2013 - 17:13

Sao từ BĐT $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$ mà suy ra được $S \le \frac{1}{4}$ vậy a

Gợi ý tiếp này :
  • Công thức diện tích-đường cao:$h_{a}=\frac{2S}{a}$.
  • Công thức Herone :$S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$.
  • Công thức $S=pr$.

P.s:Luôn khuyến khích các lời giải bằng Hình học,như #6 :namtay
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh