Chủ đề này có 1 trả lời

[dark templar]

Đang trăng thanh gió mát.lục lục lại mấy cái tài liệu cũ thì bài toán này lại đập vô mắt "Sư huynh" dark templar post lên đây muốn nhờ "sư đệ" perfecstrong xem thử

Bài toán: Cho tam giác ABC bất kỳ. Gọi $m_{a};m_{b};m_{c}$ là độ dài 3 đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh của tam giác ABC và $a,b,c$ độ dài 3 cạnh tam giác.Chứng minh :
$$m_{a}+m_{b}+m_{c} \le \frac{\sqrt{7(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)}}{2}$$

[alex_hoang]

Đang trăng thanh gió mát.lục lục lại mấy cái tài liệu cũ thì bài toán này lại đập vô mắt "Sư huynh" dark templar post lên đây muốn nhờ "sư đệ" perfecstrong xem thử

Bài toán: Cho tam giác ABC bất kỳ. Gọi $m_{a};m_{b};m_{c}$ là độ dài 3 đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh của tam giác ABC và $a,b,c$ độ dài 3 cạnh tam giác.Chứng minh :
$$m_{a}+m_{b}+m_{c} \le \frac{\sqrt{7(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)}}{2}$$

Đời vẫn có những thằng nó đi ăn tranh .Ta cũng ăn tranh 1 bài coi sao
Sử dụng công thức tính đường trung tuyến chỉ cần chứng minh


\[\sqrt {2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}} + \sqrt {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} + \sqrt {2{c^2} + 2{a^2} - {b^2}} \le 7({a^2} + {b^2} + {c^2}) + ab + bc + ca\]

Bình phương hai vế ta có


\[\sum {\sqrt {(2{a^2} + 2{b^2} - {c^2})(2{b^2} + 2{c^2} - {a^2})} } \le 2({a^2} + {b^2} + {c^2}) + ab + bc + ca\]
Mà ta có


\[ (2a^2+2b^2-c^2)(2b^2+2c^2-a^2)= 4{b^4} + 2{b^2}{(a - c)^2} - 2{(a + c)^2}{(a - c)^2} + 4{b^2}ac + {a^2}{c^2} \le {(2{b^2} + ac)^2}\]
Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng vế với vế ta có ĐPCM

@ supermember: giỏi quá Hoàng ơi :X

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 19-02-2013 - 22:55