Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho $a \neq b \neq c$ và thuộc [0;2]. CMR:$\sum\frac{1}{(a-b)^2} \ge \frac{9}{4}$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 09-02-2013 - 22:39

cho a,b,c là các số khác nhau thuộc đoạn [0;2]. CMR:
$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 09-02-2013 - 23:41


#2 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 10-02-2013 - 06:14

cho a,b,c là các số khác nhau thuộc đoạn [0;2]. CMR:
$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{4}$

Giả sử $a>b>c$
Đặt $b=c+x;a=c+x+y(x,y>0)$
BĐT cần chứng minh tương đương
$$ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2} \ge \frac{9}{(x+y)^2)} $$
Do $ a,b,c$ trọng đoạn $[0,2]$ nên $x+y \le 2$
Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2) $ và các hoán vị
Như vậy ta có thể suy ra ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 10-02-2013 - 12:55

alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#3 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 10-02-2013 - 09:03

Giả sử $a>b>c$
Đặt $b=c+x;a=c+x+y(x,y>0)$
BĐT cần chứng minh tương đương
$$ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2} \ge \frac{9}{(x+y)^2)} $$
Do $ a,b,c$ trọng đoạn $[0,2]$ nên $x+y \le 4$
Như vậy ta có thể suy ra ĐPCM

bạn ơi dấu '=' thì sao
mà x+y $\leq$ 4 thì $(x+y)^2$ $\leq$ 16 chứ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtubatu955: 10-02-2013 - 09:03


#4 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 10-02-2013 - 09:26

Giả sử $a>b>c$
Đặt $b=c+x;a=c+x+y(x,y>0)$
BĐT cần chứng minh tương đương
$$ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2} \ge \frac{9}{(x+y)^2)} $$
Do $ a,b,c$ trọng đoạn $[0,2]$ nên $x+y \le 4$
Như vậy ta có thể suy ra ĐPCM

bạn ơi mình thấy b-c có bằng y đâu bạn

#5 mrjackass

mrjackass

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 110 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 10-02-2013 - 12:49

Không mất tổng quát $a > b> c$ => $a-b,b-c,a-c>0$
Mặt khác $a \leq 2$ và $c \geq 0$ => $a-c \leq 2$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$P=\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2} \geq \frac{2}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(a-c)^2}\geq \frac{8}{(a-b+b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2}=\frac{9}{(a-c)^2}\geq\frac{9}{4}$
Dấu $=$ xảy ra khi $a=2$, $b=1$ và $c=0$ :D

420 Blaze It Faggot


#6 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 10-02-2013 - 12:58

bạn ơi dấu '=' thì sao
mà x+y $\leq$ 4 thì $(x+y)^2$ $\leq$ 16 chứ

Mình viết nhầm.Đêm qua mải chém gió nên nó ko chuẩn lắm :)
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh