Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $a \neq b \neq c$ và thuộc [0;2]. CMR:$\sum\frac{1}{(a-b)^2} \ge \frac{9}{4}$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết
cho a,b,c là các số khác nhau thuộc đoạn [0;2]. CMR:
$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 09-02-2013 - 23:41


#2
alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết

cho a,b,c là các số khác nhau thuộc đoạn [0;2]. CMR:
$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{4}$

Giả sử $a>b>c$
Đặt $b=c+x;a=c+x+y(x,y>0)$
BĐT cần chứng minh tương đương
$$ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2} \ge \frac{9}{(x+y)^2)} $$
Do $ a,b,c$ trọng đoạn $[0,2]$ nên $x+y \le 2$
Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2) $ và các hoán vị
Như vậy ta có thể suy ra ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 10-02-2013 - 12:55

alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#3
hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết

Giả sử $a>b>c$
Đặt $b=c+x;a=c+x+y(x,y>0)$
BĐT cần chứng minh tương đương
$$ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2} \ge \frac{9}{(x+y)^2)} $$
Do $ a,b,c$ trọng đoạn $[0,2]$ nên $x+y \le 4$
Như vậy ta có thể suy ra ĐPCM

bạn ơi dấu '=' thì sao
mà x+y $\leq$ 4 thì $(x+y)^2$ $\leq$ 16 chứ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtubatu955: 10-02-2013 - 09:03


#4
hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 429 Bài viết

Giả sử $a>b>c$
Đặt $b=c+x;a=c+x+y(x,y>0)$
BĐT cần chứng minh tương đương
$$ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2} \ge \frac{9}{(x+y)^2)} $$
Do $ a,b,c$ trọng đoạn $[0,2]$ nên $x+y \le 4$
Như vậy ta có thể suy ra ĐPCM

bạn ơi mình thấy b-c có bằng y đâu bạn

#5
mrjackass

mrjackass

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 110 Bài viết
Không mất tổng quát $a > b> c$ => $a-b,b-c,a-c>0$
Mặt khác $a \leq 2$ và $c \geq 0$ => $a-c \leq 2$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$P=\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2} \geq \frac{2}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(a-c)^2}\geq \frac{8}{(a-b+b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2}=\frac{9}{(a-c)^2}\geq\frac{9}{4}$
Dấu $=$ xảy ra khi $a=2$, $b=1$ và $c=0$ :D

420 Blaze It Faggot


#6
alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết

bạn ơi dấu '=' thì sao
mà x+y $\leq$ 4 thì $(x+y)^2$ $\leq$ 16 chứ

Mình viết nhầm.Đêm qua mải chém gió nên nó ko chuẩn lắm :)
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh