Đặt $M=\begin{pmatrix} p & q & r \\ r & p & q \\ q & r & p \end{pmatrix}$
Trong đó $p,q,r>0$ và $p+q+r=1$
Chứng minh rằng
$\underset{n\rightarrow \propto}{lim}M^{n}=\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$
Cuối cùng em cũng làm được.
.(phải mất 2 tuần.
Ta tìm được các giá trị riêng của M là 1,$\frac{\pm \sqrt{3}(q-r)i+3p-1}{2}$
Từ các giá trị riêng ta có thể giải được các vector riêng là <1,1,1,>;<1,0,-1>;<0,1,-1> và rút ra được q=r khi giải tìm ra vector riêng.
Sau đó dùng nhận xét quen thuộc $M^n$=P.diag(1,($\frac{3p-1}{2})^{n}$,1,$(\frac{3p-1}{2})^{n}$).$P^{-1}$
với P được tạo bởi vector riêng theo cột.
Dùng nhận xét p<1 nên $\frac{3p-1}{2}$<1 nên ${\frac{3p-1}{2}}^{n}=0$ khi n-> vô cùng.
Từ đó ta thu được $M^n$ đúng như yêu cầu đề bài.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuong148: 20-02-2013 - 00:34