Philippine Mathematical Olympiad 2013
Bài 1: Xác định số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện tồn tại $n$ số nguyên dương phân biệt $x_1,x_2,…,x_n$ để
$$\left(1-\frac{1}{x_1}\right)\left(1-\frac{1}{x_2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{x_n}\right)=\frac{15}{2013}.$$
Bài 2: Gọi $P$ là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của tam giác $ABC$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là giao điểm của $AP$ với $BC$, $BP$ với $AC$, $CP$ với $AB$. Giả sử rằng các tam giác $APF, BPD, CPE$ có cùng diện tích. Chứng minh rằng $P$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
Bài 3: Cho $n$ là số nguyên dương. Các số từ $1,2,…,2n$ được sắp xếp bất kỳ trên một đường tròn. Mỗi dây cung được nối bởi hai điểm bất kì trong $2n$ điểm và được gán bằng độ chênh lệch dương của hai điểm đầu mút. Chứng minh rằng ta có thể chọn được $n$ dây cung đôi một không cẳt nhau sao cho tổng các số được gán trên các dây cung bằng $n^2$.
Bài 4: Cho $p\leq q$ là hai số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu một trong hai số $a^p$ hoặc $a^q$ chia hết cho $p$ thì số còn lại cũng chia hết cho $p$.
Bài 5: Cho $r,s$ là các số thực dương sao cho $(r+s-rs)(r+s+rs)=rs$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $r+s-rs$ và $r+s+rs$.
