Chủ đề này có 7 trả lời

[tramyvodoi]

Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix} x^2=y+1\\y^2=z+1 \\z^2=x+1 \end{matrix}\right.$

[banhgaongonngon]

Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix} x^2=y+1\\y^2=z+1 \\z^2=x+1 \end{matrix}\right.$

Điều kiện $x,y,z\geq -1$
Xét các trường hợp, dùng phương pháp đánh giá, chứng minh được $x=y=z$
Thế vào tìm được nghiệm

$x=y=z=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

[Primary]

Điều kiện $x,y,z\geq -1$
Xét các trường hợp, dùng phương pháp đánh giá, chứng minh được $x=y=z$
Thế vào tìm được nghiệm

$x=y=z=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Đánh giá thì không dễ dàng vì $f'(x)=2x<0$ với $f(x)=x^2$ khi $x$ thuộc khoảng $(-1;0)$

[nhuquynh301297]

HPT có dạng $\left\{\begin{matrix} f(x)=g(y) & & \\ f(y)=g(z) & & \\ f(z)=g(x)& & \end{matrix}\right.$
Khảo sát 2 hàm số $f(t)=t^{^{2}}$ và $g(t)= t+1$
Ta thấy $f(t)$ tăng từ $(0;+\infty )$ và giảm từ $(-\infty;0 )$
$g(t)$ tăng với $\forall t\epsilon R
Không mất tính tổng quát giả sử: $x=min\begin{Bmatrix} x,y,z \end{Bmatrix}$
Trường hợp 1: $x\epsilon (0;+\infty )$ $\Rightarrow x,y,z\epsilon (0;+\infty )$ ở khoảng này thì các hàm f và g đều tăng$\Rightarrow f(x)\leq f(y)\leq f(z)$$\Rightarrow g(y)\leq g(z)\leq g(x)$$\Rightarrow y\leq z\leq x$
Suy ra: $x= y= z$$= \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$
Trường hợp 2: $x\epsilon (-\infty ;0)$
Không mất tính tổng quát giả sử: $x= max\begin{Bmatrix} x,y,z & \end{Bmatrix}$\Rightarrow x,y,z\epsilon (-\infty ;0)$ ở khoảng này f giảm và g tăng
$x\geq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)\Rightarrow g(y)\leq g(z)\Rightarrow y\leq z\Rightarrow f(y)\geq f(z)\Rightarrow g(z\)\geq g(x)\Rightarrow z\geq x\Rightarrow f(z)\leq f(x)\Rightarrow g(x)\leq g(y)\Rightarrow x\leq y$
Suy ra $x= y$
Làm tuơng tự như thế ta suy ra $x= y= z$$= \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

[dorabesu]

Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix} x^2=y+1\\y^2=z+1 \\z^2=x+1 \end{matrix}\right.$

Đầu tiên xét TH $x,y,z=1$ ...
Ta xét TH chúng khác 1 :
Từ $y^2=z+1\Rightarrow y^2-1=z$
Ta có : $x^2=y+1=\frac{y^2-1}{y-1}=\frac{z}{y-1}$
Tương tự ta có hệ mới : $\left\{\begin{matrix} x^2=\frac{z}{y-1}(1)\\y^2=\frac{x}{z-1}(2)\\z^2=\frac{y}{x-1}(3)\end{matrix}\right.$
Do (1) nên $z$ và $y-1$ cùng dấu.
* Nếu $z\geq 0$ và $y-1>0$ hay $z\geq 0$ và $y>1$
Kết hợp với (3) $\Rightarrow x>1$, rồi kết hợp với (2) $\Rightarrow z>1$
Vậy ta được $x,y,z>1$ (cùng dấu) rồi giả sử $x\geq y\geq z$ để đánh giá ...
* Nếu $z<0$ và $y-1<0$ tương tự ...

[dorabesu]

HPT có dạng $\left\{\begin{matrix} f(x)=g(y) & & \\ f(y)=g(z) & & \\ f(z)=g(x)& & \end{matrix}\right.$
Khảo sát 2 hàm số $f(t)=t^{^{2}}$ và $g(t)= t+1$
Ta thấy $f(t)$ tăng từ $(0;+\infty )$ và giảm từ $(-\infty;0 )$
$g(t)$ tăng với $\forall t\epsilon R$
Không mất tính tổng quát giả sử: $x=min\begin{Bmatrix} x,y,z \end{Bmatrix}$
Trường hợp 1: $x\epsilon (0;+\infty )$ $\Rightarrow x,y,z\epsilon (0;+\infty )$ ở khoảng này thì các hàm f và g đều tăng$\Rightarrow f(x)\leq f(y)\leq f(z)$$\Rightarrow g(y)\leq g(z)\leq g(x)$$\Rightarrow y\leq z\leq x$
Suy ra: $x= y= z$$= \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$
Trường hợp 2: $x\epsilon (-\infty ;0)$
Không mất tính tổng quát giả sử: $x= max\begin{Bmatrix} x,y,z & \end{Bmatrix}\Rightarrow x,y,z\epsilon (-\infty ;0)$ ở khoảng này f giảm và g tăng
$x\geq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)\Rightarrow g(y)\leq g(z)\Rightarrow y\leq z\Rightarrow f(y)\geq f(z)\Rightarrow g(z)\geq g(x)\Rightarrow z\geq x\Rightarrow f(z)\leq f(x)\Rightarrow g(x)\leq g(y)\Rightarrow x\leq y$
Suy ra $x= y$
Làm tuơng tự như thế ta suy ra $x= y= z$$= \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Đây là phương pháp gì vậy chị ?

[nhuquynh301297]

Đây là phương pháp gì vậy chị ?

đây là một dạng của hệ hoán vị vòng quanh hay còn gọi là hệ đối xứng loại II 3 ẩn

[Ispectorgadget]

Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix} x^2=y+1\\y^2=z+1 \\z^2=x+1 \end{matrix}\right.$

Bài này có gì đâu mà phải xoắn nhỉ

Do $x^2,y^2,z^2 \ge 0$ nên $x+1\ge 0;y+1 \ge 0;z+1\ge 0\Rightarrow x,y,z \ge -1$

$\bigstar$ Nếu $x\ge 0$ thì $z^2 =x+1 \ge 1\Rightarrow z>0\Rightarrow y^2=z+1 >1 \Rightarrow y>0$.

Không mất tính tổng quát giả sử $x\ge y\ge z >0 \Rightarrow x^2 \ge y^2 \ge z^2 >0 \Rightarrow y\ge z \ge x \Rightarrow x=y=z$ và $x^2 =x+1 \Rightarrow x=y=z=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$\bigstar$ Nếu $-1 \le x \le 0$ thì $y+1 =x^2 <1 \Rightarrow y\le 0\Rightarrow z+1 =y^2 <1 \Rightarrow z<0$

Không mất tính tổng quát giả sử $-1\le x\le y\le z\le 0 \Rightarrow x^2 \ge y^2 \ge z^2 >0 \Rightarrow y \ge z \ge x$ suy ra $x=y=z=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

Vậy hệ có 2 nghiệm $\boxed{x=y=z =\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}}$