Chủ đề này có 2 trả lời

[darkevil]

Chứng minh các bất đẳng thức
a)
$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\geq \frac{1}{2}$ với mọi $n\in N^*$

b)
$\frac{a+b}{1+a+b}\leq \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}$ với mọi $a\geq 0,b\geq 0$. Khi nào đẳng thức xảy ra?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MIM: 14-02-2013 - 08:31

[Sagittarius912]

Bài 1: Sử dụng Cauchy-Schwarz:
$VT\ge \frac{n^{2}}{n+1+n+2+...+2n}=\frac{n^{2}}{\frac{n}{2}(3n+1)}=\frac{2n}{3n+1}$
cần chứng minh
$\frac{2n}{3n+1}\ge \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow n\ge 1$ ( đúng)
Dấu $"="$ xảy ra khi $n=1$

Bài 2: Sử dụng Cauchy-Schwarz:
$VT=\frac{a^{2}}{a^{2}+a}+\frac{b^{2}}{b^{2}+1}\ge \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+a+b}$
Đặt $a+b=x$ và $ab=y$. ta cần chứng minh
$\frac{x^{2}}{x^{2}+x-2y}\ge \frac{x}{1+x}\Leftrightarrow 2y\ge0$ ( đúng)
Dấu $"="$ xảy ra khi $a=0$ hoặc $b=0$ hoặc $a=b=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MIM: 14-02-2013 - 08:33

[dorabesu]

b)
$\frac{a+b}{1+a+b}\leq \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}$ với mọi $a\geq$ 0,$b\geq 0$. Khi nào đẳng thức xảy ra?

Do $b\geq 0$ nên $1+a+b\geq 1+a$
$\Rightarrow \frac{a}{1+a+b}\leq \frac{a}{1+a}$ (1)
Tương tự $\frac{b}{1+a+b}\leq \frac{b}{1+b}$ (2)
Cộng (1) và (2) lại ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dorabesu: 13-02-2013 - 23:03