Chủ đề này có 3 trả lời

[GodEgypt]

CMR với mọi $x, y, z$ ta có:
a, $2x^2 + y^2 - xy - 4x - 2y + 6 > 0$
b, $x^4y^2 - 4x^3y + 2(y^2 + 2)x^2 + 4xy + y^2 \geq 0$
c, $x^2 + 2y^2 + z^2 + 2xy - xz - 2yz - 2x - 2 > 0$
Cảm ơn mọi người trước.

[tuanbi97]

a) $(y^2-y(x+2)+\frac{(x+2)^2}{4})+(\frac{7x^2}{4}-5x+5)$
$=(y-\frac{x+2}{2})^2+(\frac{7x^2}{4}-5x+5)>0$ (đúng)
b) chắc sai đê`,sửa lại phải la`: $+4x^3y$
$y^2(x^4+2x^2+1)+2.2x(1+x^2)y+4x^2=[y(x^2+1)+2x]^2 \geq 0$
c) $x^2+2x\frac{2y-z-2}{2}+(\frac{2y-z-2}{2})^2+y^2+\frac{3z^2}{4}-3-yz-z+2y$
$=(x+\frac{2y-z-2}{2})^2+y^2-2y(\frac{z-2}{2})+(\frac{z-2}{2})^2+\frac{z^2}{2}-4$
$=(x+\frac{2y-z-2}{2})^2+(y-\frac{z-2}{2})^2+\frac{z^2}{2}-4>0$
Không bikcâu c bạn có viết sai k?hay la`minh` tính sai?nhưng ma` cách thi`cứ dôn` vê` 1 biến,
bai` c)sửa đê` lại chắc la`$+2$ ở cuối

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuanbi97: 14-02-2013 - 19:33

[Hoa Hồng Lắm Gai]

CMR với mọi $x, y, z$ ta có:
a, $2x^2 + y^2 - xy - 4x - 2y + 6 > 0$
b, $x^4y^2 - 4x^3y + 2(y^2 + 2)x^2 + 4xy + y^2 \geq 0$
c, $x^2 + 2y^2 + z^2 + 2xy - xz - 2yz - 2x - 2 > 0$
Cảm ơn mọi người trước.

a, $2x^2 + y^2 - xy - 4x - 2y + 6 \\= (x^2+ \frac{1}{4}y^2-xy) -2(x-\frac{1}{2}y)+1+(x^2-2x+1)+\frac{3}{4}(y^2 - 4y+4)+1 \\= (x-\frac{1}{2}y-1)^2+ (x-1)^2 + \frac{3}{4}(y-2)^2+1 > 0 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoa Hồng Lắm Gai: 14-02-2013 - 19:17

[nthoangcute]

CMR với mọi $x, y, z$ ta có:
a, $2x^2 + y^2 - xy - 4x - 2y + 6 > 0$
b, $x^4y^2 - 4x^3y + 2(y^2 + 2)x^2 + 4xy + y^2 \geq 0$

a) xét hàm $f(x,y)=2x^2 + y^2 - xy - 4x - 2y + 6$
$f'_x=4x-y-4$
$f'_y=2y-x-2$
Để $f'_x=f'_y=0$ thì $(x,y)=(\frac{10}{7},\frac{12}{7})$
$A=f''_{x^2}=4$
$B=f''_{xy}=-1$
$C=f''_{y^2}=2$
Do $B^2-AC<0$ và $A>0$ nên $f$ đạt cực tiểu tại $(\frac{10}{7},\frac{12}{7})$
Khi đó $f_{\min}=\frac{10}{7}>0$
b) Tương tự:
$f(x,y)=x^4y^2 - 4x^3y + 2(y^2 + 2)x^2 + 4xy + y^2$
$f'_x=4x^3y^2-12x^2y+4(y^2+2)x+4y$
$f'_y=2x^4y-4x^3+4x^2y+4x+2y$
Giải hệ $f'_x=f'_y=0$ ta được: $x=y=0$

$A=f''_{x^2}=12x^2y^2-24xy+4y^2+8=8$
$B=f''_{xy}=8x^3y-12x^2+8xy+4=4$
$C=f''_{y^2}=2x^4+4x^2+2=2$
Do $B^2-AC=0$ nên dễ thấy $f \geq f(0,0)=0$