Bài này phải là $f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*$, chứ hàm $f \equiv 0$ thỏa hệ thức nhưng không thỏa đề.
Lời giải:\[
f\left( {mf\left( n \right)} \right) = n^2 f\left( m \right),\forall m,n \in \mathbb{N}^* ,\left( 1 \right)
\]
Kí hiệu $a:=b$ nghĩa là thay $a$ bởi $b$.
\[
\begin{array}{l}
m: = 1,\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {f\left( n \right)} \right) = n^2 f\left( 1 \right),\forall n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow f:\text{ đơn ánh },\left( * \right) \\
n: = 1,\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {mf\left( 1 \right)} \right) = f\left( m \right) \Rightarrow mf\left( 1 \right) = m \Rightarrow f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow f\left( {f\left( n \right)} \right) = n^2 ,\forall n \in \mathbb{N}^* ,\left( 2 \right) \\
m: = f\left( m \right);\left( 1 \right) \wedge \left( 2 \right) \Rightarrow f\left( {f\left( m \right)f\left( n \right)} \right) = m^2 n^2 = f\left( {f\left( {mn} \right)} \right) \\
\left( * \right) \Rightarrow f\left( {mn} \right) = f\left( m \right)f\left( n \right),\left( 3 \right) \\
\end{array}
\]
Vì $f$ đơn ánh nên với $p$ nguyên tố thì $f(p) > 1$. Giả sử $f(p)$ không là số nguyên tố.
Đăt $a,b \in \mathbb{N}^*, a \ge b >1:f(p)=ab$.
\[
\left( 2 \right) \Rightarrow p^2 = f\left( {f\left( p \right)} \right) = f\left( {ab} \right) = f\left( a \right)f\left( b \right)
\]
Nếu $f(a)=p^2; f(b)=1 \Rightarrow b=1$ :vô lý.
Nếu $f(b)=p^2; f(a)=1 \Rightarrow a=1$: vô lý.
Nên $f(a)=f(b)=p \Rightarrow a=b \Rightarrow f(p)=a^2$. Ta sẽ cm $a$ nguyên tố.
Thật vậy, nếu $a=mn \Rightarrow p=f(a)=f(mn)=f(m)f(n) \Rightarrow f(m)=1$ hoặc $f(n)=1$.
$\Rightarrow m=1$ hoặc $n=1 \Rightarrow a$ là số nguyên tố.
Từ đó, ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 14-02-2013 - 22:37