Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

Chứng minh rằng đa thức $P'(x)$ chỉ có một nghiệm thực


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 14-02-2013 - 22:03

Bài toán:
Giả sử rằng $P(x)$ là một đa thức với hệ số thực,có tất cả các nghiệm đều là số ảo.Chứng minh rằng đa thức $P'(x)$ chỉ có một nghiệm thực
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#2 Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-03-2016 - 23:37

Bổ đề. $P(x)$ có $\deg{P}$ lẻ thì $P(x)$ có nghiệm thực.

Bổ đề cho ta $\deg{P}$ chẵn.
Theo định lý cơ bản của đại số và điều kiện $P(x)$ có toàn bộ nghiệm ảo thì $P(x)$ có thể phân tích thành tích các tam thức bậc hai hệ số thực.
Xét một nghiệm $bi$ bất kì của $P(x)$, khi đó $bi$ là nghiệm của $x^{2} + mx + n = 0$. Do $m, n\in \mathbb{R}$ nên $-bi$ cũng là nghiệm của $P(x)$
Vì thế $P(x) = (x^{2} + s_{1})(x^{2} + s_{2})\cdots (x^{2} + s_{k})$ với $s_{i} > 0$
$P'(x) = 2x\left[\sum_{1 \le a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{k - 1}\le k}\prod_{i = 1}^{k - 1}(x^{2} + s_{a_{i}})\right]$
Từ đây dễ dàng suy ra $P'(x)$ có nghiệm thực duy nhất là $0$.

:mellow:  :mellow:  :mellow:  :mellow:  :mellow:  :mellow:  :mellow:
http://press.princet...wers_VIII_6.pdf
Lời khuyên dành cho các nhà toán học trẻ.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh