Đến nội dung

Hình ảnh

Cmr $\frac{a}{b^{3}+ab}+\frac{b}{c^{3}+bc}+\frac{c}{c^{3}+ca} \geq \frac{3}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
caokhanh97

caokhanh97

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
a,b,c > 0 và a + b + c = 3. Cmr $\frac{a}{b^{3}+ab}+\frac{b}{c^{3}+bc}+\frac{c}{c^{3}+ca} \geq \frac{3}{2}$
C.K

#2
kobietlamtoan

kobietlamtoan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 112 Bài viết
Ta có:
$\sum \frac{a}{b^{3}+ab}= \sum (\frac{1}{b} - \frac{b^{2}}{b^{3}+ab}) \geq \sum \frac{1}{b} - \sum \frac{b^{2}}{2b^{2}\sqrt{a}} = \sum \frac{1}{b}-\frac{1}{2\sqrt{a}}$
Giờ ta chứng minh:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}$
Thật vậy:
Xét:
$\frac{1}{a}-\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{2}(a-1) = (\sqrt{a}-1)^{2}\frac{a+2\sqrt{a}+2}{2a}\geq 0$

Còn chứng minh $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3$ thì quá dê!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kobietlamtoan: 16-02-2013 - 00:15

Nghiêm Văn Chiến 97

#3
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Hoặc có thể viết luôn $\frac{1}{2 \sqrt{a}} \le \frac{1}{4} \left( \frac 1a + 1 \right)$.

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh