Chủ đề này có 2 trả lời

[240495]

tính các tích phân sau:
$I=\int\limits_{ 0}^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{7sinx-5cosx}{(sinx+cox)^{3}}dx}$
$I=\int\limits_{ \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{\left ( x+2sinx-3 \right )cosx}{sin^{3}x}dx}$

[vo van duc]

tính các tích phân sau:
$I=\int\limits_{ 0}^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{7sinx-5cosx}{(sinx+cox)^{3}}dx}$

Cách 1

$I=\int\limits _{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{7\sin x-5\cos x}{2\sqrt{2}\sin ^{3}(x+\frac{\pi}{4})}dx$

Đổi biến $t=x+\frac{\pi}{4}$, ta có

$I=\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{7\sin (t-\frac{\pi}{4})-5\cos (t-\frac{\pi}{4})}{2\sqrt{2}\sin ^{3}t}dt= \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\sin t-\cos t}{2\sin ^{3}t}dt$

$=\frac{1}{2}. \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{dt}{\sin ^{2}t}-\frac{1}{2} \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}\frac{d(\sin t)}{\sin ^{3}t}=\cdots$

Cách 2

Đặt $I_{1}= \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^{3}}dx$

và $I_{2}= \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{(\sin x+\cos x)^{3}}dx$

Dễ dàng chứng minh được $I_{1}=I_{2}$ và tính $I_{1}+I_{2}=a$. Suy ra $I_{1}=I_{2}=\frac{a}{2}$

Khi đó $I=7I_{1}-5I_{2}=\cdots$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 16-02-2013 - 07:26

[vo van duc]

$I=\int\limits_{ \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{\left ( x+2sinx-3 \right )cosx}{sin^{3}x}dx}$

$I=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{\left ( x+2sinx-3 \right )cosx}{sin^{3}x}dx}= \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{x\cos x}{\sin ^{3}x}dx+ 2\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{\sin ^{2}x}dx-3 \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{\sin ^{3}x}dx$

$=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}xd(-\frac{1}{2\sin ^{2}x})+2\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{d(\sin x)}{\sin ^{2}x}-3\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{d(\sin x)}{\sin ^{3}x}=\cdots$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 17-02-2013 - 15:28