Chủ đề này có 4 trả lời

[jaydison]

Cho $a\geq b\geq 0$
Chứng minh $\frac{(a-b)^2}{8a}\leq \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\leq \frac{(a-b)^2}{8b}$

[banhgaongonngon]

Cho $a\geq b\geq 0$
Chứng minh $\frac{(a-b)^2}{8a}\leq \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\leq \frac{(a-b)^2}{8b}$

Ta chứng minh $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}>\frac{(a-b)^{2}}{8}$ $(1)$
Thật vậy
$(1)\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\leq \frac{(a-b)^{2}}{4} \Leftrightarrow 2(\sqrt{a}-\sqrt{b})\leq a-b \Leftrightarrow (\sqrt{a}-1)^{2}\geq (\sqrt{b}-1)^{2}$

[jaydison]

Ta chứng minh $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}>\frac{(a-b)^{2}}{8}$ $(1)$
Thật vậy
$(1)\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\leq \frac{(a-b)^{2}}{4} \Leftrightarrow 2(\sqrt{a}-\sqrt{b})\leq a-b \Leftrightarrow (\sqrt{a}-1)^{2}\geq (\sqrt{b}-1)^{2}$

Hình như bạn nhầm chổ (1) phải là: $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\leq \frac{(a-b)^2}{8}$
Với lại cho mình hỏi bạn chứng minh bdt đó để làm gì???

[banhgaongonngon]

Hình như bạn nhầm chổ (1) phải là: $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\leq \frac{(a-b)^2}{8}$
Với lại cho mình hỏi bạn chứng minh bdt đó để làm gì???

Xl bạn mình nhìn nhầm (
Mắt dạo này lag nặng rồi.
Ta có
$(1)\Leftrightarrow \left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{2}\geq \frac{(a-b)^{2}}{4a} \Leftrightarrow 2a-2\sqrt{ab}\geq 2a-2b \Leftrightarrow a\geq b$
Cái kia tương tự. Thành thật xin lỗi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 15-02-2013 - 20:25

[jaydison]

Xl bạn mình nhìn nhầm (
Mắt dạo này lag nặng rồi.
Ta có
$(1)\Leftrightarrow \left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{2}\geq \frac{(a-b)^{2}}{8a} \Leftrightarrow 2a-2\sqrt{ab}\geq 2a-2b \Leftrightarrow a\geq b$
Cái kia tương tự. Thành thật xin lỗi

Hình như bạn nhầm nữa thì phải
Từ (1) => $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq \frac{(a-b)^2}{4a}$ chứ không phải là $8a$
Bài giải như sau:
Từ (1) => $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq \frac{(a-b)^2}{4a}\Leftrightarrow 2a-2\sqrt{ab}\geq a-b\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geqslant 0$