Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a^{3}}{a+2b} \ge \sum \dfrac{1}{3}a^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1
thangthaolinhdat

thangthaolinhdat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
Cho em hỏi một loạt bài luôn mọi người nhá vì em đang chuẩn bị hoàn thành một đống bài tập Tết:
1. Cho a,b,c >0 Tm: a+b+c=2012. Tim GTNN:
$M=\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}$
2. Cho a,b,c>0. CMR:
$\frac{a^{3}}{a+2b}+\frac{b^{3}}{b+2c}+\frac{c^{3}}{c+2a}\geq \frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
3. Cho x,y,z>0. Tm $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}$. Tìm GTNN: $P=\frac{\sqrt{2x^{2}+y^{2}}}{xy}+\frac{\sqrt{2y^{2}+z^{2}}}{yz}+\frac{\sqrt{2z^{2}+x^{2}}}{zx}$
4. cho $0\leq a,b,c\leq 1$ CMR:$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 15-02-2013 - 20:39


#2
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

Cho em hỏi một loạt bài luôn mọi người nhá vì em đang chuẩn bị hoàn thành một đống bài tập Tết:
3. Cho x,y,z>0. Tm $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}$. Tìm GTNN: $P=\frac{\sqrt{2x^{2}+y^{2}}}{xy}+\frac{\sqrt{2y^{2}+z^{2}}}{yz}+\frac{\sqrt{2z^{2}+x^{2}}}{zx}$


Theo bất đẳng thức $Minkowsky$ ta có
$\sum \frac{\sqrt{2x^{2}+y^{2}}}{xy}=\sum \sqrt{\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{y^{2}}}\geq \sqrt{\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} +\frac{1}{z}\right )^{2}+\left ( \frac{\sqrt{2}}{x} +\frac{\sqrt{2}}{y}+\frac{\sqrt{2}}{z}\right )^{2}}=\sqrt{3}\left ( \frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right )$

#3
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết

Cho em hỏi một loạt bài luôn mọi người nhá vì em đang chuẩn bị hoàn thành một đống bài tập Tết:
1. Cho a,b,c >0 Tm: a+b+c=2012. Tim GTNN:
$M=\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}$
2. Cho a,b,c>0. CMR:
$\frac{a^{3}}{a+2b}+\frac{b^{3}}{b+2c}+\frac{c^{3}}{c+2a}\geq \frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
3. Cho x,y,z>0. Tm $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}$. Tìm GTNN: $P=\frac{\sqrt{2x^{2}+y^{2}}}{xy}+\frac{\sqrt{2y^{2}+z^{2}}}{yz}+\frac{\sqrt{2z^{2}+x^{2}}}{zx}$
4. cho $0\leq a,b,c\leq 1$ CMR:$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

Bài 4: http://diendantoanho...-toan-tổng-hợp/
Bài 2: http://diendantoanho...giấy-2012-2013/

#4
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

Cho em hỏi một loạt bài luôn mọi người nhá vì em đang chuẩn bị hoàn thành một đống bài tập Tết:
2. Cho a,b,c>0. CMR:
$\frac{a^{3}}{a+2b}+\frac{b^{3}}{b+2c}+\frac{c^{3}}{c+2a}\geq \frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$\sum \frac{a^{3}}{a+2b}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)}$
$\geq \left ( \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c} \right )^{2}\geq \left ( \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}} \right )^{2}=VP$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 15-02-2013 - 20:47


#5
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

Cho em hỏi một loạt bài luôn mọi người nhá vì em đang chuẩn bị hoàn thành một đống bài tập Tết:
1. Cho a,b,c >0 Tm: a+b+c=2012. Tim GTNN:
$M=\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}$

Sử dụng AM-GM ngược dấu em nhé:
$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=a-\frac{ab(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}}\ge a- \frac{a+b}{3}$
tương tự
...
...
Cộng lại
$N\ge \frac{a+b+c}{3}=...$

#6
thangthaolinhdat

thangthaolinhdat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Theo bất đẳng thức $Minkowsky$ ta có
$\sum \frac{\sqrt{2x^{2}+y^{2}}}{xy}=\sum \sqrt{\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{y^{2}}}\geq \sqrt{\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} +\frac{1}{z}\right )^{2}+\left ( \frac{\sqrt{2}}{x} +\frac{\sqrt{2}}{y}+\frac{\sqrt{2}}{z}\right )^{2}}=\sqrt{3}\left ( \frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right )$

em chưa học BĐT Minkowsky

#7
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

Cho em hỏi một loạt bài luôn mọi người nhá vì em đang chuẩn bị hoàn thành một đống bài tập Tết:

2. Cho a,b,c>0. CMR:
$\frac{a^{3}}{a+2b}+\frac{b^{3}}{b+2c}+\frac{c^{3}}{c+2a}\geq \frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Cauchy-Schwarz dạng Engel:
$\sum \frac{a^{3}}{a+2b}=\sum \frac{a^{4}}{a^{2}+ab}\ge \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a+b+c)^{2}}\ge \frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

#8
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

em chưa học BĐT Minkowsky


Vậy dùng bất đẳng thức dạng vector đi bạn
Sử dụng bất đẳng thức $\left | \vec{a}+\vec{b} \right |\leq \left | \vec{a} \right |+\left | \vec{b} \right |$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 15-02-2013 - 20:55


#9
thangthaolinhdat

thangthaolinhdat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Vậy dùng bất đẳng thức dạng vector đi bạn
Sử dụng bất đẳng thức $|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|\geq |\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$

em cũng chưa học :(

#10
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

Cho em hỏi một loạt bài luôn mọi người nhá vì em đang chuẩn bị hoàn thành một đống bài tập Tết:

3. Cho x,y,z>0. Tm $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}$. Tìm GTNN: $P=\frac{\sqrt{2x^{2}+y^{2}}}{xy}+\frac{\sqrt{2y^{2}+z^{2}}}{yz}+\frac{\sqrt{2z^{2}+x^{2}}}{zx}$


em chưa học BĐT Minkowsky

Nếu em chưa học bdt Min-cốp-xki thì xem tịa link dưới nhé
http://diendantoanho...2y2xygeq-sqrt3/

#11
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

em cũng chưa học :(


Cái này bạn phải được học rồi chứ. Ngay bài đầu tiên của lớp $10$ mà :(

#12
Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết

em chưa học BĐT Minkowsky

bạn chứng minh lại nó như một dạng bổ đề :D.Biến đổi thì ra $C-S$ thôi

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#13
thangthaolinhdat

thangthaolinhdat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Cái này bạn phải được học rồi chứ. Ngay bài đầu tiên của lớp $10$ mà :(

em mới học lớp 9 mà :(




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh