Chủ đề này có 1 trả lời

[dorabesu]

Cho hệ $\left\{\begin{matrix}x+my=3&&\\y+mx=m\end{matrix}\right.$
Cmr : $x+y\leq \frac{1}{2}\sqrt{34}-1$

[caybutbixanh]

Cho hệ $\left\{\begin{matrix}x+my=3&&\\y+mx=m\end{matrix}\right.$
Cmr : $x+y\leq \frac{1}{2}\sqrt{34}-1$

Mình nghĩ là $\frac{1}{2}\sqrt{34}+1.$
Nếu vậy,ta có :

$\left\{\begin{matrix}x+my=3&&\\y+mx=m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
mx+m^{2}y=3m & \\
y+mx=m &
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=\dfrac{m^{2}-3}{m^{2}-1} & \\
y=\dfrac{2m}{m^{2}-1} & (m\neq 1;-1)
\end{matrix}\right.$
Ta có tính chất sau :
$A\geq B;C\geq D \Rightarrow A+C\geq B+D.$
Cần chứng minh: $\frac{m^{2}-3}{m^{2}-1}\leq \frac{1}{2}.\sqrt{34}(1)\\
\frac{2m}{m^{2}-1}\leq 1(2).$
Thật vậy :(1)$\Leftrightarrow \frac{2(m^{2}-3)}{m^{2}-1}\leq \sqrt{34}\\
\Leftrightarrow (2-\sqrt{34}).m^{2}-(6+\sqrt{34})\leq 0.(đúng)$

(2)$\Leftrightarrow \frac{2m}{m^{2}-1}-1 \leq 0\\\Leftrightarrow \frac{-(m-1)^{2}-2}{m^{2}-1}\leq 0.(đúng)$
Cộng lại ta có $dpcm$