Chủ đề này có 4 trả lời

[kobietlamtoan]

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn ab+bc+ca = 1.
Chứng minh:
$\frac{a}{1+a^2} + \frac{b}{1+b^2} + \frac{3c}{\sqrt{1+c^{2}}} \leq \sqrt{10}$

[25 minutes]

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn ab+bc+ca = 1.
Chứng minh:
$\frac{a}{1+a^2} + \frac{b}{1+b^2} + \frac{3c}{\sqrt{1+c^{2}}} \leq \sqrt{10}$

Do $a,b,c> 0,ab+bc+ac=1$ nên tồn tại 3 góc trong 1 tam giác thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}
a=tg\frac{A}{2}\\b=tg\frac{B}{2}
\\c=tg\frac{C}{2}

\end{matrix}\right.$
Do đó $\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{3c}{\sqrt{1+c^2}}=\frac{sinA+sinB}{2}+3sin\frac{C}{2}\leq sin\frac{A+B}{2}+3sin\frac{C}{2}=cos\frac{C}{2}+3sin\frac{C}{2}\leq \sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$
$\Rightarrow$ đpcm ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 18-02-2013 - 09:51

[kobietlamtoan]

Mình chưa làm BĐT bằng hình bao giờ! chắc h thay đổi suy nghĩ qá! @@

[25 minutes]

Mình chưa làm BĐT bằng hình bao giờ! chắc h thay đổi suy nghĩ qá! @@

Với điều kiện $a,b,c> 0$, $ab+bc+ac=1$ hoặc $a+b+c=abc$ thì người ta thường đưa bđt về dạng lượng giác với việc đặt $a=tg \frac{A}{2}, a=tg A$
Với bài trên có thể dùng đại số nhưng hơi loằng ngoằng vì hệ số lệch nhau ?

[KietLW9]

Vì ab + bc+ ca = 1 nên ta có: $\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}=\frac{a}{(a+b)(a+c)}+\frac{b}{(b+a)(b+c)}=\frac{a(b+c)+b(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{ab+1}{(a^2+1)(b+c)}\leqslant \frac{\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}}{(a^2+1)(b+c)} =\frac{\sqrt{b^2+1}}{(b+c)\sqrt{a^2+1}}=\frac{\sqrt{(b+a)(b+c)}}{(b+c)\sqrt{(a+b)(a+c)}}=\frac{1}{\sqrt{(b+c)(a+c)}}=\frac{1}{\sqrt{c^2+1}}$

Đến đây, ta cần chứng minh: $\frac{3c+1}{\sqrt{c^2+1}}\leqslant \sqrt{10} \Leftrightarrow (c-3)^2\geqslant 0$ *đúng*

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=\sqrt{10}-3;c=3$