Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Tìm tất cả đa thức $P_1(x),P_2(x),P_3(x),P_4(x)$ thỏa mãn \[{P_1}\left( x \right).{P_2}\left( y \right) - {P_3}\left( z \right).{P_4}\left( t \right) = 1,\forall \left\{ \begin{array}{l}
x,y,z,t \in \mathbb{R}\\
xy - zt = 1
\end{array} \right.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 16-02-2013 - 17:58

[em yeu chi anh]

Tìm tất cả đa thức $P_1(x),P_2(x),P_3(x),P_4(x)$ thỏa mãn \[{P_1}\left( x \right).{P_2}\left( y \right) - {P_3}\left( z \right).{P_4}\left( t \right) = 1,\forall \left\{ \begin{array}{l}
x,y,z,t \in \mathbb{R}\\
xy - zt = 1
\end{array} \right.\]

TL:
Gọi deg${P_i} = {n_i}$ với i=1;2. Chọn$ N \in \mathbb{N} $ sao cho số các ước số của $N \geq {n_1}+{n_2}$.
Chọn $x\in \mathbb{Z} $ và $x|N, y= \frac{N}{x} , z= 1, t=N-1$ ta có :
${P_1}(x) .{P_2}(\frac{N}{x}) -1 = {P_3}(1).{P_4}(N-1)$
Coi trên là phương trình đối với $x$ và VT có bậc $ \leq {n_1}+{n_2} $ mà đa thức này có nhiều hơn ${n_1}+{n_2}$ nghiệm nên
deg$({P_1}(x).{P_2}( \frac{N}{x} )) = 0$
$\Rightarrow {P_1}(x) = ax^n, {P_2}(x) = bx^n$
Tương tự thỳ ${P_3}(x) = cx^m, {P_4}(x) = dx^m$
Cho $x=y=1, z=t=0$ thỳ ${P_1}(x).{P_2} y) - {P_3}(z).{P_4}( t) = ab =1 $
Cho $x=y=0, z=1, t=-1$ thỳ ${P_1}(x).{P_2}(y) - {P_3}(z).{P_4}(t) = cd =1$
Cho $x=z=1, t= y-1$ có $y^n - (y-1)^m =1 \forall y \in \mathbb{Z}$
Do đó m=n=1
Vậy ${P_1}(x) =ax, {P_2}(x) = \frac{x}{a}, {P_3}(x)= cx, {P_4}(x) = \frac{x}{c}$ với a,c là hằng số khác 0.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi em yeu chi anh: 21-02-2013 - 16:33