Chủ đề này có 4 trả lời

[CelEstE]

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn phương trình $x^2+y^2=2z^2$ thì $x^2-y^2$ chia hết cho 48.

[Zaraki]

Lời giải. Đầu tiên ta sẽ chứng minh $x^2-y^2$ chia hết cho $3$ bằng việc áp dụng tính chất $a^2 \equiv 0,1 \pmod{3}$ với $a \in \mathbb{Z}$.

Thật vậy, nếu cả hai số $x^2$ và $y^2$ có cùng số dư khi chia cho $3$ thì $x^2-y^2$ chia hết cho $3$.
Nếu hai số có khác số dư khi chia cho $3$. Không mất tính tổng quát, giả sử $x \equiv 0 \pmod{3}, \; y \equiv 1 \pmod{3}$ thì $x^2+y^2 \equiv 1 \pmod{3}$ mà $2z^2 \equiv 0,2 \pmod{3}$, mâu thuẫn.
Vậy hai số $x^2,y^2$ không thể khác số dư khi chia cho $3$.
Do đó ta luôn có $3|x^2-y^2$.

Ta chứng minh $x^2-y^2$ chia hết cho $16$ bằng việc áp dụng tính chất $a^2 \equiv 0,1,4,9 \pmod{16}$ với $a \in \mathbb{Z}$.
Dễ nhận thấy $x,y$ có cùng tính chẵn lẻ.

Nếu $x,y$ đều lẻ. Với $x^2,y^2$ có cùng số dư khi chia cho $16$ thì hiển nhiên ta có đpcm.
Với $x^2,y^2$ khác số dư khi chia cho $16$, mà $x,y$ lẻ nên không mất tính tổng quát, giả sử $x^2 \equiv 1 \pmod{16}, \; y^2 \equiv 9 \pmod{16}$ thì $x^2+y^2 \equiv 10 \pmod{16}$, mà $2z^2 \equiv 0,2,8 \pmod{16}$, mâu thuẫn.
Vậy với $x,y$ lẻ thì $16|x^2-y^2$.

Nếu $x,y$ đều chẵn. Đặt $x=2x_1,y=2y_1$ với $x_1,y_1 \in \mathbb{Z}$. Khi đó $$x^2+y^2=2z^2 \Leftrightarrow 2 \left( x_1^2+y_1^2 \right) =z^2 \qquad (1)$$
Ta suy ra $z$ chẵn, đặt $z=2z_1$ thì $$(1) \Leftrightarrow x_1^2+y_1^2=2z_1^2 \qquad (2)$$
Lí luận tương tự trên:
Với $x_1,y_1$ đều lẻ ta suy ra $x_1^2-y_1^2$ chia hết cho $16$.
Với $x_1,y_1$ cùng chẵn thì $x_1=2x_2, \; y_1=2y_2$. Khi đó $x=2x_1=4x_2, \; y=2y_1=4y_2$ nên $x^2-y^2=16(x_2^2-y_2^2)$ chia hết cho $16$.

Trong mọi trường hợp, ta luôn có $16|x^2-y^2$.

Kết luận. Vậy $48|x^2-y^2$.

[CelEstE]

Toàn này một số chính phương khi chia cho 16 thì có số dư là bao nhiêu.

[Zaraki]

Toàn này một số chính phương khi chia cho 16 thì có số dư là bao nhiêu.

Mình đã viết ở trên rồi mà: $a^2 \equiv 0,1,4,9 \pmod{16}$.

[Aries Intelligent]

Lời giải. Đầu tiên ta sẽ chứng minh $x^2-y^2$ chia hết cho $3$ bằng việc áp dụng tính chất $a^2 \equiv 0,1 \pmod{3}$ với $a \in \mathbb{Z}$.

Thật vậy, nếu cả hai số $x^2$ và $y^2$ có cùng số dư khi chia cho $3$ thì $x^2-y^2$ chia hết cho $3$.
Nếu hai số có khác số dư khi chia cho $3$. Không mất tính tổng quát, giả sử $x \equiv 0 \pmod{3}, \; y \equiv 1 \pmod{3}$ thì $x^2+y^2 \equiv 1 \pmod{3}$ mà $2z^2 \equiv 0,2 \pmod{3}$, mâu thuẫn.
Vậy hai số $x^2,y^2$ không thể khác số dư khi chia cho $3$.
Do đó ta luôn có $3|x^2-y^2$.

Ta chứng minh $x^2-y^2$ chia hết cho $16$ bằng việc áp dụng tính chất $a^2 \equiv 0,1,4,9 \pmod{16}$ với $a \in \mathbb{Z}$.
Dễ nhận thấy $x,y$ có cùng tính chẵn lẻ.

Nếu $x,y$ đều lẻ. Với $x^2,y^2$ có cùng số dư khi chia cho $16$ thì hiển nhiên ta có đpcm.
Với $x^2,y^2$ khác số dư khi chia cho $16$, mà $x,y$ lẻ nên không mất tính tổng quát, giả sử $x^2 \equiv 1 \pmod{16}, \; y^2 \equiv 9 \pmod{16}$ thì $x^2+y^2 \equiv 10 \pmod{16}$, mà $2z^2 \equiv 0,2,8 \pmod{16}$, mâu thuẫn.
Vậy với $x,y$ lẻ thì $16|x^2-y^2$.

Nếu $x,y$ đều chẵn. Đặt $x=2x_1,y=2y_1$ với $x_1,y_1 \in \mathbb{Z}$. Khi đó $$x^2+y^2=2z^2 \Leftrightarrow 2 \left( x_1^2+y_1^2 \right) =z^2 \qquad (1)$$
Ta suy ra $z$ chẵn, đặt $z=2z_1$ thì $$(1) \Leftrightarrow x_1^2+y_1^2=2z_1^2 \qquad (2)$$
Lí luận tương tự trên:
Với $x_1,y_1$ đều lẻ ta suy ra $x_1^2-y_1^2$ chia hết cho $16$.
Với $x_1,y_1$ cùng chẵn thì $x_1=2x_2, \; y_1=2y_2$. Khi đó $x=2x_1=4x_2, \; y=2y_1=4y_2$ nên $x^2-y^2=16(x_2^2-y_2^2)$ chia hết cho $16$.

Trong mọi trường hợp, ta luôn có $16|x^2-y^2$.

Kết luận. Vậy $48|x^2-y^2$.

Khoan khoan : Dòng đỏ : nói là mâu thuẫn nhưng sao lại kết luận là với mọi x,y lẻ ?