Chủ đề này có 3 trả lời

[dorabesu]

Cho $x,y\geq 0$ và $x+y\leq 6$. Tìm min, max $x^2y[4-(x+y)]$

[vutuanhien]

Cho $x,y\geq 0$ và $x+y\leq 6$. Tìm min, max $x^2y[4-(x+y)]$

Dễ thấy BT đạt GTLN khi $x+y\leq 4$, đạt GTNN khi $x+y\geq 4$.
GTLN:Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $x^2y\left [ 4-(x+y) \right ]=4.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.y.\left [ 4-(x+y) \right ]\leq 4.\left [ \frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y+4-(x+y)}{4} \right ]^4=4$.
GTNN:$-x^2y\left [ 4-(x+y) \right ]=x^2y\left [ x+y-4 \right ]=4.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.y.(x+y-4)\leq 4.(\frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y+x+y-4}{4})^4=4.\left [ \frac{2(x+y)-4}{4} \right ]^4\leq 4.\left ( \frac{2.6-4}{4} \right )^4=64\Rightarrow x^2y\left [ 4-(x+y) \right ]\geq -64$
Vậy GTLN của BT là 4, đạt được khi x=2, y=1; GTNN của BT là -64, đạt được khi x=4, y=2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 17-02-2013 - 10:50

[dorabesu]

Dễ thấy BT đạt GTLN khi $x+y\leq 4$, đạt GTNN khi $x+y\geq 4$.
GTLN:Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $x^2y\left [ 4-(x+y) \right ]=4.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.y.\left [ 4-(x+y) \right ]\leq 4.\left [ \frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y+4-(x+y)}{4} \right ]^4=4$.
GTNN:$-x^2y\left [ 4-(x+y) \right ]=x^2y\left [ x+y-4 \right ]=4.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.(x+y-4)\leq 4.(\frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y+x+y-4}{4})^4=4.\left [ \frac{2(x+y)-4}{4} \right ]^4\leq 4.\left ( \frac{2.6-4}{4} \right )^4=64\Rightarrow x^2y\left [ 4-(x+y) \right ]\geq -64$
Vậy GTLN của BT là 4, đạt được khi x=2, y=1; GTNN của BT là -64, đạt được khi x=4, y=2

Cậu đoán dấu "=" rồi mới làm hay có cách nào vậy?

[vutuanhien]

Tớ có đoán đâu. Ý tưởng của tớ là để tìm GTLN thì phải triệt tiêu x+y chỉ còn lại hằng số, còn để tìm GTNN thì biến đổi $x^2y$ để áp dụng gt $x+y\leq 6$