Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: $P(x)\equiv Q(x)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
Bài toán:
Cho đa thức $P(x)$ và $Q(x)$ là các đa thức monic thỏa mãn $P(P(x))=Q(Q(x))$.Chứng minh rằng $P(x)\equiv Q(x)$
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết
Lời giải:
Từ giả thiết suy ra $\deg P=\deg Q=n$.
Đặt $R=P-Q$. Giả sử $\deg R=k (1\le k \le n-1)$. Ta có:
\[
P\left( {P\left( x \right)} \right) - Q\left( {Q\left( x \right)} \right) = Q\left( {P\left( x \right)} \right) - Q\left( {Q\left( x \right)} \right) + R\left( {P\left( x \right)} \right)
\]
Đặt \[
\begin{array}{l}
Q\left( x \right) = x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_1 \\
\Rightarrow Q\left( {P\left( x \right)} \right) - Q\left( {Q\left( x \right)} \right) = P\left( x \right)^n - Q\left( x \right)^n + a_{n - 1} \left( {P\left( x \right)^{n - 1} - Q\left( x \right)^{n - 1} } \right) + ... + a_2 \left( {P\left( x \right) - Q\left( x \right)} \right) \\
P\left( x \right)^n - Q\left( x \right)^n = R\left( x \right)\left[ {P\left( x \right)^{n - 1} + P\left( x \right)^{n - 2} Q\left( x \right) + ... + Q\left( x \right)^{n - 1} } \right] \\
\left. \begin{array}{l}
\Rightarrow \deg \left( {P\left( x \right)^n - Q\left( x \right)^n } \right) = k + n^2 - n \\
\deg a_i \left( {P\left( x \right)^i - Q\left( x \right)^i } \right) < k + n^2 - n \\
\end{array} \right\} \Rightarrow \deg \left( {Q\left( {P\left( x \right)} \right) - Q\left( {Q\left( x \right)} \right)} \right) = k + n^2 - n \\
\deg R\left( {P\left( x \right)} \right) = kn < k + n^2 - n \Rightarrow \deg RHS\left( 1 \right) = k + n^2 - n > 0:\text{ vô lý}\\
\end{array}
\]
Như vậy, chỉ còn TH $R \equiv c$.
\[
\begin{array}{l}
P\left( {P\left( x \right)} \right) = Q\left( {Q\left( x \right)} \right) \Rightarrow Q\left( {Q\left( x \right) + c} \right) = Q\left( {Q\left( x \right)} \right) - c \\
\Rightarrow Q\left( {y + c} \right) = Q\left( y \right) - c,\left( 2 \right) \\
\end{array}
\]
(2) đúng với vô hạn $y$, suy ra (2) đúng với mọi $y$. Nhưng điều này chỉ xảy ra khi $c=0 \Rightarrow Q.E.D$
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh