Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rằng: $P(x)\equiv Q(x)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 16-02-2013 - 16:42

Bài toán:
Cho đa thức $P(x)$ và $Q(x)$ là các đa thức monic thỏa mãn $P(P(x))=Q(Q(x))$.Chứng minh rằng $P(x)\equiv Q(x)$
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#2 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4141 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 20-02-2013 - 22:41

Lời giải:
Từ giả thiết suy ra $\deg P=\deg Q=n$.
Đặt $R=P-Q$. Giả sử $\deg R=k (1\le k \le n-1)$. Ta có:
\[
P\left( {P\left( x \right)} \right) - Q\left( {Q\left( x \right)} \right) = Q\left( {P\left( x \right)} \right) - Q\left( {Q\left( x \right)} \right) + R\left( {P\left( x \right)} \right)
\]
Đặt \[
\begin{array}{l}
Q\left( x \right) = x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_1 \\
\Rightarrow Q\left( {P\left( x \right)} \right) - Q\left( {Q\left( x \right)} \right) = P\left( x \right)^n - Q\left( x \right)^n + a_{n - 1} \left( {P\left( x \right)^{n - 1} - Q\left( x \right)^{n - 1} } \right) + ... + a_2 \left( {P\left( x \right) - Q\left( x \right)} \right) \\
P\left( x \right)^n - Q\left( x \right)^n = R\left( x \right)\left[ {P\left( x \right)^{n - 1} + P\left( x \right)^{n - 2} Q\left( x \right) + ... + Q\left( x \right)^{n - 1} } \right] \\
\left. \begin{array}{l}
\Rightarrow \deg \left( {P\left( x \right)^n - Q\left( x \right)^n } \right) = k + n^2 - n \\
\deg a_i \left( {P\left( x \right)^i - Q\left( x \right)^i } \right) < k + n^2 - n \\
\end{array} \right\} \Rightarrow \deg \left( {Q\left( {P\left( x \right)} \right) - Q\left( {Q\left( x \right)} \right)} \right) = k + n^2 - n \\
\deg R\left( {P\left( x \right)} \right) = kn < k + n^2 - n \Rightarrow \deg RHS\left( 1 \right) = k + n^2 - n > 0:\text{ vô lý}\\
\end{array}
\]
Như vậy, chỉ còn TH $R \equiv c$.
\[
\begin{array}{l}
P\left( {P\left( x \right)} \right) = Q\left( {Q\left( x \right)} \right) \Rightarrow Q\left( {Q\left( x \right) + c} \right) = Q\left( {Q\left( x \right)} \right) - c \\
\Rightarrow Q\left( {y + c} \right) = Q\left( y \right) - c,\left( 2 \right) \\
\end{array}
\]
(2) đúng với vô hạn $y$, suy ra (2) đúng với mọi $y$. Nhưng điều này chỉ xảy ra khi $c=0 \Rightarrow Q.E.D$
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh