Chủ đề này có 1 trả lời

[19kvh97]

Giải pt:
$\sqrt{1+\sqrt{2x-x^2}}+\sqrt{1-\sqrt{2x-x^2}}=2(1-x)^4(2x^2-4x+1)$

[phanquockhanh]

Giải pt:
$\sqrt{1+\sqrt{2x-x^2}}+\sqrt{1-\sqrt{2x-x^2}}=2(1-x)^4(2x^2-4x+1)$(1)

Điều kiện:$0\leq x\leq 2$
Đặt u=$\sqrt{1+\sqrt{2x-x^2}}$,v=$\sqrt{1-\sqrt{2x-x^2}}$$(u,v\geq 0)$.Ta có:
$u^{2}+v^{2}=2,u^{2}-v^{2}=2\sqrt{2x-x^{2}}$
$(1)\Rightarrow u+v= 2u^{4}v^{4}\left [ 1-\frac{\left ( u^{2} -v^{2}\right )^{2}}{2} \right ]$
Theo AM-GM ta có:$2=u^{2}+v^{2}\geq 2uv\geq 0\Rightarrow 0\leq uv\leq 1$(2)
Do đó:$2u^{4}v^{4}\left [ 1-\frac{\left ( u^{2} -v^{2}\right )^{2}}{2} \right ]\leq 2u^{4}v^{4}$
Mặt khác:$u+v\geq 2\sqrt{uv}\geq 2u^{4}v^{4}$ (do (2))
Do đó:$VT\geq VP$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow u=v,uv=1\Rightarrow u=v=1\Rightarrow $x=0 v x=2