Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

$\left | ax^2+bx+c \right |\geq \left | x^2-1 \right |$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 luuxuan9x

luuxuan9x

    Sát thủ có khuôn mặt trẻ thơ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Cà Mau
  • Sở thích:Hoạt hình,phim hành động,đọc truyện

Đã gửi 16-02-2013 - 18:49

Giả sử $\left | ax^2+bx+c \right |\geq \left | x^2-1 \right |$ với mọi số thực $x$ . Chứng minh rằng $\left | b^2-4ac \right |\geq 4$.

#2 QDV

QDV

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

Đã gửi 16-11-2015 - 10:13

Giả sử $\left | ax^2+bx+c \right |\geq \left | x^2-1 \right |$ với mọi số thực $x$ . Chứng minh rằng $\left | b^2-4ac \right |\geq 4$.

Gọi A là BĐT điều kiện, B là BĐT kết quả

 Nếu VT của A có nghiệm. Dễ dàng CM a=-c ,b=0 và $\left | a \right |=\left | c \right |\geq 1$

 Vậy B đúng và Đẳng thức tại kết quả B xảy ra khi và chỉ khi a=1,b=0,c=-1 hoặc a=-1,b=0,c=1

 Nếu VT của A vô nghiệm

   $\Rightarrow (ax^{2}+bx+c)^{2}\geq (x^{2}-1)^{2}$

   $\Rightarrow [(a+1)x^{2}+bx+(c-1)][(a+1)x^{2}+bx+(c+1)]\geq 0,\forall x$

   $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b^{2}-4(a+1)(c-1)\leq 0 (1)\\ b^{2}-4(a-1)(c+1)\leq 0 (2) \end{matrix}\right.$

   (1)+(2)  

   $\Rightarrow 2(b^{2}-4ac)+8\leq 0\Rightarrow b^{2}-4ac\leq -4\Rightarrow \left | b^{2}-4ac \right |\geq 4$ (Đpcm)

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=c=m,b=$2\sqrt{m^{2}-1}\cup -2\sqrt{m^{2}-1},\left | m \right |\geq 1$

 Đẳng thức tại kết quả B xảy ra khi và chỉ khi a=1,b=0,c=-1 hoặc a=-1,b=0,c=1

hoặc a=c=m,b=$2\sqrt{m^{2}-1}\cup -2\sqrt{m^{2}-1},\left | m \right |\geq 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QDV: 16-11-2015 - 10:29





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh