Đến nội dung

Hình ảnh

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+2x+22} - \sqrt{y} = y^2+2y+1\\ ... \end{matrix}\right.$

* * * * * 1 Bình chọn hệ phương trình

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Phuongchik13a

Phuongchik13a

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x^2+2x+22} - \sqrt{y} = y^2+2y+1\\ \sqrt{y^2+2y+22} - \sqrt{x}=x^2+2x+1

\end{matrix}\right.$
MOD: Bạn là thành viên mới nên bạn cần chú ý gõ công thức toàn học $\LaTeX$ và cách đăt tiêu đề
Cách đặt tiêu đề: http://diendantoanho...i-khong-bị-xoa/
Cách gõ $\LaTeX$ : http://diendantoanho...cong-thức-toan/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 16-02-2013 - 21:14


#2
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

cănbậc2của(x^2+2x+22) - cănbậc2của(y) = y^2+2y+1\\ căn bậc2của(y^2+2y+22) - cănbậc2của(x)=x^2+2x+1


$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+2x+22}-\sqrt{y}=(y+1)^{2}\\ \sqrt{y^{2}+2y+22}-\sqrt{x}=(x+1)^{2} \end{matrix}\right.$

Trừ từng vế 2 PT

$\frac{(x-y)(x+y+2)}{\sqrt{x^{2}+2x+22}+\sqrt{y^{2}+2y+22}}+\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=(y-x)(x+y+2)$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y\\ \frac{x+y+2}{\sqrt{x^{2}+2x+22}+\sqrt{y^{2}+2y+22}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+x+y+2=0 \end{bmatrix}$

PT thứ 2 vô nghiệm nên ta chỉ có $x=y$
Thay vào PT ta được

$\sqrt{x^{2}+2x+22}-\sqrt{x}=(x+1)^{2}$



#3
Phuongchik13a

Phuongchik13a

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
cho mình hỏi vì sao vế bên sau ta kết luận được vô nghiệm.cũng phải có cách giải chứ

#4
Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x^2+2x+22} - \sqrt{y} = y^2+2y+1\\ \sqrt{y^2+2y+22} - \sqrt{x}=x^2+2x+1

\end{matrix}\right.$


Giải

ĐK: $x, y \geq 0$

Đặt $\left\{\begin{matrix}x + 1 = a\\y + 1 = b\end{matrix}\right. \,\, (a, b \geq 1)$

Ta có hệ mới:
$\left\{\begin{matrix}\sqrt{a^2 + 21} - \sqrt{b - 1} = b^2\\\sqrt{b^2 + 21} - \sqrt{a - 1} = a^2\end{matrix}\right.$


Lấy hiệu vế theo vế của 2 phương tình, ta được:

$\dfrac{a^2 - b^2}{\sqrt{a^2 + 21} + \sqrt{b^2 + 21}} + \dfrac{a - b}{\sqrt{a - 1} + \sqrt{b - 1}} + (a - b)(a + b) = 0$


$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}a = b\\\dfrac{a + b}{\sqrt{a^2 + 21} + \sqrt{b^2 + 21}} + \dfrac{1}{\sqrt{a - 1} + \sqrt{b - 1}} + (a + b) = 0 \, (2)\end{matrix}\right.$

Do a, b > 0 nên (2) vô nghiệm.

Với a = b, ta có phương trình:

$\sqrt{a^2 + 21} - \sqrt{a - 1} = a^2$


$\Leftrightarrow \sqrt{a^2 + 21} - 5 + 1 - \sqrt{a - 1} = a^2 - 4$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2 - 4}{\sqrt{a^2 + 21} + 5} + \dfrac{2 - a}{1 + \sqrt{a - 1}} = (a - 2)(a + 2)$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}a = 2\\\dfrac{a + 2}{\sqrt{a^2 + 21} + 5} - \dfrac{1}{1 + \sqrt{a - 1}} - a - 2 = 0\end{matrix}\right.$


Ta có:
$\dfrac{a + 2}{\sqrt{a^2 + 21} + 5} - \dfrac{1}{1 + \sqrt{a - 1}} - a - 2$


$= (a + 2)(\dfrac{1}{\sqrt{a^2 + 21} + 5} - 1)- \dfrac{1}{1 + \sqrt{a - 1}} $

$= \dfrac{(a + 2)(-4 - \sqrt{a^2 + 21})}{\sqrt{a^2 + 21} + 5} - \dfrac{1}{1 + \sqrt{a - 1}} < 0 \, \forall a > 0$

Vậy, hệ có nghiệm a = b = 2. Khi đó, x = y = 1
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hệ phương trình

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh