Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:$x^{2}+xy+y^{2}-x^{2}y^{2}=0$
#1
Đã gửi 16-02-2013 - 21:41
#2
Đã gửi 16-02-2013 - 23:00
Pt đã cho $\iff (x+y)^2=xy(xy+1)$.Lại có $(|xy|,|xy+1|)=1$ nên xét:Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:$x^{2}+xy+y^{2}-x^{2}y^{2}=0$
Nếu $xy \geq 0$ thì $\left\{\begin{matrix}
xy=a^2\\
xy+1=b^2
\end{matrix}\right.$
Với $a,b$ nguyên dương. Từ trên ta được $a^2=b^2-1 \iff (b-a)(b+a)=1$ => $a=0, b=1$. Từ đó $x=y=0$
Nếu $xy \leq -1$ (Không thể $-1 \leq xy \leq 0$) được.
Tương tự, đặt $\left\{\begin{matrix}
xy=-m^2\\
xy+1=-n^2
\end{matrix}\right.$
Trong đó $m,n$ nguyên dương. Tương tự như trên tìm được $m,n$ và tìm được $x,y$
- phanquockhanh và nguyen tien dung 98 thích
420 Blaze It Faggot
#3
Đã gửi 18-02-2013 - 19:57
Mình tìm được một cách nữaPt đã cho $\iff (x+y)^2=xy(xy+1)$.Lại có $(|xy|,|xy+1|)=1$ nên xét:
Nếu $xy \geq 0$ thì $\left\{\begin{matrix}
xy=a^2\\
xy+1=b^2
\end{matrix}\right.$
Với $a,b$ nguyên dương. Từ trên ta được $a^2=b^2-1 \iff (b-a)(b+a)=1$ => $a=0, b=1$. Từ đó $x=y=0$
Nếu $xy \leq -1$ (Không thể $-1 \leq xy \leq 0$) được.
Tương tự, đặt $\left\{\begin{matrix}
xy=-m^2\\
xy+1=-n^2
\end{matrix}\right.$
Trong đó $m,n$ nguyên dương. Tương tự như trên tìm được $m,n$ và tìm được $x,y$
$x^{2}+xy+y^{2}-x^{2}y^{2}=(x+y)^{2}-xy-x^{2}y^{2}$
Đặt x+y=a và xy=b ta có:
$a^{2}-b^{2}-b=0 \Rightarrow 4a^{2}-4b^{2}-4b=0 \Rightarrow 4a^{2}-4b^{2}-4b-1=-1 \Rightarrow (2a+2b+1)(2a-2b-1)=-1$
Xét ước của -1 rồi tìm ra a,b.
sau đó thay vào tìm x,y.
- DarkBlood, mrjackass, phanquockhanh và 1 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 20-02-2013 - 23:30
Mình cũng có cách nữa!Mình tìm được một cách nữa
$x^{2}+xy+y^{2}-x^{2}y^{2}=(x+y)^{2}-xy-x^{2}y^{2}$
Đặt x+y=a và xy=b ta có:
$a^{2}-b^{2}-b=0 \Rightarrow 4a^{2}-4b^{2}-4b=0 \Rightarrow 4a^{2}-4b^{2}-4b-1=-1 \Rightarrow (2a+2b+1)(2a-2b-1)=-1$
Xét ước của -1 rồi tìm ra a,b.
sau đó thay vào tìm x,y.
PT đã cho tương đương với: $x^2+xy+y^2=x^2y^2$
Với $|x|\geq 2$ và $|y|\geq 2$ ta có:
$\left\{\begin{matrix} x^2y^2\geq 4x^2\\ x^2y^2\geq 4y^2 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow x^2y^2\geq 2(x^2+y^2)=x^2+y^2+x^2+y^2\geq x^2+y^2+2|xy|>x^2+y^2+xy$
Vậy $|x|\leq 2$ hoặc $|y|\leq 2$. Nếu $x=\pm 2$ hoặc $y=\pm 2$ thì phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
Thử với $x=0,x=1$ và $x=-1$ ta thấy PT có ba nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(0;0),(1;-1),(-1;1)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Forgive Yourself: 20-02-2013 - 23:32
- phanquockhanh và Phanh thích
Facebook: https://www.facebook.com/ntn3004
#5
Đã gửi 22-02-2013 - 17:03
Phân tích (x+y)^2=xy(xy+1) $\Rightarrow$ xy=0 hoặc xy+1=0Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:$x^{2}+xy+y^{2}-x^{2}y^{2}=0$
- DarkBlood và Math269999 thích
Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.
#6
Đã gửi 22-02-2013 - 19:38
Tại sao lại suy ra được như thế hả bạn?Phân tích (x+y)^2=xy(xy+1) $\Rightarrow$ xy=0 hoặc xy+1=0
#7
Đã gửi 02-03-2013 - 20:15
- Math269999 và Phanh thích
Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.
#8
Đã gửi 03-03-2013 - 09:26
Cái này thì giải thế này thì không được đâu.Vì như thế $\dfrac{-1}{4}$ sẽ có thể tách ra thành nhiều những cặp số (vô hạn).Và phương trình ước số chỉ áp dụng cho số nguyên thôiMình làm cách này:
Ta có : PT: (x+y)2 - xy -x2y2=0$\Leftrightarrow (x+y)^{2}-(xy+\frac{1}{2})^{2}=-\frac{1}{4} \Leftrightarrow \left ( x+y+xy+\frac{1}{2} \right )\left ( x+y-xy-\frac{1}{2} \right )=-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}$
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh