Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:$x^{2}+xy+y^{2}-x^{2}y^{2}=0$

* * * * * 4 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Phanh

Phanh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 220 Bài viết
Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:$x^{2}+xy+y^{2}-x^{2}y^{2}=0$

#2
mrjackass

mrjackass

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 110 Bài viết

Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:$x^{2}+xy+y^{2}-x^{2}y^{2}=0$

Pt đã cho $\iff (x+y)^2=xy(xy+1)$.Lại có $(|xy|,|xy+1|)=1$ nên xét:
Nếu $xy \geq 0$ thì $\left\{\begin{matrix}
xy=a^2\\
xy+1=b^2
\end{matrix}\right.$
Với $a,b$ nguyên dương. Từ trên ta được $a^2=b^2-1 \iff (b-a)(b+a)=1$ => $a=0, b=1$. Từ đó $x=y=0$
Nếu $xy \leq -1$ (Không thể $-1 \leq xy \leq 0$) được.
Tương tự, đặt $\left\{\begin{matrix}
xy=-m^2\\
xy+1=-n^2
\end{matrix}\right.$
Trong đó $m,n$ nguyên dương. Tương tự như trên tìm được $m,n$ và tìm được $x,y$

420 Blaze It Faggot


#3
Phanh

Phanh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 220 Bài viết

Pt đã cho $\iff (x+y)^2=xy(xy+1)$.Lại có $(|xy|,|xy+1|)=1$ nên xét:
Nếu $xy \geq 0$ thì $\left\{\begin{matrix}
xy=a^2\\
xy+1=b^2
\end{matrix}\right.$
Với $a,b$ nguyên dương. Từ trên ta được $a^2=b^2-1 \iff (b-a)(b+a)=1$ => $a=0, b=1$. Từ đó $x=y=0$
Nếu $xy \leq -1$ (Không thể $-1 \leq xy \leq 0$) được.
Tương tự, đặt $\left\{\begin{matrix}
xy=-m^2\\
xy+1=-n^2
\end{matrix}\right.$
Trong đó $m,n$ nguyên dương. Tương tự như trên tìm được $m,n$ và tìm được $x,y$

Mình tìm được một cách nữa
$x^{2}+xy+y^{2}-x^{2}y^{2}=(x+y)^{2}-xy-x^{2}y^{2}$
Đặt x+y=a và xy=b ta có:
$a^{2}-b^{2}-b=0 \Rightarrow 4a^{2}-4b^{2}-4b=0 \Rightarrow 4a^{2}-4b^{2}-4b-1=-1 \Rightarrow (2a+2b+1)(2a-2b-1)=-1$
Xét ước của -1 rồi tìm ra a,b.
sau đó thay vào tìm x,y.

#4
Forgive Yourself

Forgive Yourself

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết

Mình tìm được một cách nữa
$x^{2}+xy+y^{2}-x^{2}y^{2}=(x+y)^{2}-xy-x^{2}y^{2}$
Đặt x+y=a và xy=b ta có:
$a^{2}-b^{2}-b=0 \Rightarrow 4a^{2}-4b^{2}-4b=0 \Rightarrow 4a^{2}-4b^{2}-4b-1=-1 \Rightarrow (2a+2b+1)(2a-2b-1)=-1$
Xét ước của -1 rồi tìm ra a,b.
sau đó thay vào tìm x,y.

Mình cũng có cách nữa!

PT đã cho tương đương với: $x^2+xy+y^2=x^2y^2$
Với $|x|\geq 2$ và $|y|\geq 2$ ta có:
$\left\{\begin{matrix} x^2y^2\geq 4x^2\\ x^2y^2\geq 4y^2 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow x^2y^2\geq 2(x^2+y^2)=x^2+y^2+x^2+y^2\geq x^2+y^2+2|xy|>x^2+y^2+xy$
Vậy $|x|\leq 2$ hoặc $|y|\leq 2$. Nếu $x=\pm 2$ hoặc $y=\pm 2$ thì phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
Thử với $x=0,x=1$ và $x=-1$ ta thấy PT có ba nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(0;0),(1;-1),(-1;1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Forgive Yourself: 20-02-2013 - 23:32


#5
Christian Goldbach

Christian Goldbach

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 351 Bài viết

Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:$x^{2}+xy+y^{2}-x^{2}y^{2}=0$

Phân tích (x+y)^2=xy(xy+1) $\Rightarrow$ xy=0 hoặc xy+1=0

Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.

 


#6
Phanh

Phanh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 220 Bài viết

Phân tích (x+y)^2=xy(xy+1) $\Rightarrow$ xy=0 hoặc xy+1=0

Tại sao lại suy ra được như thế hả bạn?

#7
Christian Goldbach

Christian Goldbach

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 351 Bài viết
vì có t/c tich hai số nguyên liên tiếp là SCP thì 1 trong 2 số bằng không

Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.

 


#8
Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết

Mình làm cách này:
Ta có : PT: (x+y)2 - xy -x2y2=0$\Leftrightarrow (x+y)^{2}-(xy+\frac{1}{2})^{2}=-\frac{1}{4} \Leftrightarrow \left ( x+y+xy+\frac{1}{2} \right )\left ( x+y-xy-\frac{1}{2} \right )=-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}$

Cái này thì giải thế này thì không được đâu.Vì như thế $\dfrac{-1}{4}$ sẽ có thể tách ra thành nhiều những cặp số (vô hạn).Và phương trình ước số chỉ áp dụng cho số nguyên thôi

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh