Chủ đề này có 3 trả lời

[sirhungns]

Tính: $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$

[sirhungns]

Ai làm hộ mình bài này với!

[zipienie]

Tính: $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$

Bài này không thể tính được kết quả tổng quát, nếu theo toán bậc đại học thì chuỗi số $\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{1}{k}$ là không hội tụ (phân kì).
Nếu viết cụ thể là $\sum_{k=1}^{n }\dfrac{1}{k}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}$ thì ta có kết quả
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n }\dfrac{1}{k}-\ln n=C$$
Trong đó $C$ là một hằng số gọi là hằng số Ơle.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zipienie: 04-03-2013 - 22:37

[nthoangcute]

Tính: $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$

Để tính tổng này, người ta dùng đến các hàm cao cấp, giá trị đại số như Psi ($\Psi$) , gamma ($\gamma$), Gamma ($\Gamma$) (không hiểu thì lên mạng tra).

$$\Psi (x)=\frac{d}{dx} \ln (\Gamma (x))=\dfrac{\frac{d}{dx} \Gamma (x)}{\Gamma (x)}$$
$$\Gamma(x)=\int^\infty _0 e^{-t} t^{x-1}dt$$

Còn $\gamma$ thì theo công thức Euler thì được tính bằng:
$$\gamma=\lim_{n \to \infty } \left(\sum^n_{i=1}\frac{1}{i}-\ln n\right)$$
Suy ra:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=\Psi(n+1)+\gamma$$