Chủ đề này có 1 trả lời

[LotusSven]

Có bao nhiêu số tự nhiên chi hết cho $3$ gồm $n$ chữ số sao cho các chữ số thuộc tập hợp $X=\left \{ 2,3,7,9 \right \}$

[reddevil1998]

2 cách nhé :

Cách 1:Gọi $A_{n}$ là tập các số có $n$ chữ số thoả đề ,còn $B_{n}$là tập các số có $n$ chữ số lấy từ ${2,3,7,9}$ mà không chia hết cho $3$ .Mỗi số thuộc $A_{n}$ được tạo bởi 2 cách

-Lấy mỗi số thuộc $A_{n}$ rồi thêm $3$ hoặc $9$ vào sau (có 2 cách như vậy)

-Lấy mỗi số thuộc $B_{n}$rồi thêm $2$ hoặc $7$ vào sau (chỉ có 1 cách thêm mỗi số)

Suy ra :$\left | A_{n+1} \right |=2\left | A_{n} \right |+\left | B_{n} \right |$ 

Tương tự ,ta có :$\left | B_{n+1} \right |=2\left | A_{n} \right |+3\left | B_{n} \right |$

Suy ra :$\left | A_{n+2} \right |=5\left | A_{n+1} \right |-4\left | A_{n} \right |$,và $\left | A_{n} \right |=\frac{4^{n}+2}{3}$

Cách 2:Xét đa thức :$f(n)=(x^{2}+x^{3}+x^{7}+x^{9})^{n}$

Tổng tất cả các số hạng trong khai triển $f(n)$ có số mũ chia hết cho $3$ chính là số các số thoả đề .Đặt $A,B,C$ lần lượt là tổng các số hạng có số mũ chia hết cho $3$ ,cho $3$ dư $1$ ,cho $3$ dư $2$

Gọi e là 1 no PT $x^{3}=1$ và tập no ${e,e^{2},1}$ .Hơn nữa $e,e^{2}$ là 2 no PT $x^{2}+x+1$ ,suy ra :

$A+B+C=f(1),A+B(e)+B(e^{2})=(2e^{2}+e+1)^{n}=e^{2n}$,$A+C(e)+B(e^{2})=f(e^{2})=(2e^{2}+e+1)^{n}=e^{n}$

Theo định lí R.U.F ,suy ra :$A=\frac{f(1)+f(e)+f(e^{2})}{3}$

Tới đây thì dễ rồi , mọi người tự làm tiếp nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi reddevil1998: 29-03-2013 - 11:02