Chủ đề này có 5 trả lời

[kazehikaru]

1.tìm max, min của hàm số:
$y= (\frac{1+\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x})^{n}+(\frac{1+\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x})^{n}$
n thuộc Z+

2. xét dạng tam giác:
$\sin A= 2\sin B\sin C$

cám ơn mọi người

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kazehikaru: 17-02-2013 - 10:33

[Primary]

1.tìm max, min của hàm số:
$y= (\frac{1+\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x})^{n}+(\frac{1+\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x})^{n}$
n thuộc Z+

cám ơn mọi người

$y=\left ( \frac{1+\sin^2x}{\sin^2x} \right )^n+\left ( \frac{2-\sin^2x}{\sin^2x} \right )^n$
Đặt $\sin^2x=t$ với $t\in (0;1]$
$\Rightarrow y=f(t)=\left ( \frac{1+t}{t} \right )^n+\left ( \frac{2-t}{t} \right )^n$
$f'(t)=\frac{n(1+t)^{n-1}.(2-t)^n+n(1+t)^n.(2-t)^{n-1}}{t^{2n}}>0,\forall t\in (0;1]$
Suy ra hàm số $f(t)$ đồng biến trên R
Lập bảng biến thiên ta tìm được
$\max y=f(1)=2^n$ khi $\sin^2t=1\Leftrightarrow x=k\pi\pm \frac{\pi }{2}$
Hàm số không có GTNN

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 17-02-2013 - 10:58

[SOYA264]

2. xét dạng tam giác:
$\sin A= 2\sin B\sin C$
cám ơn mọi người

ta đã có $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$
thay vào biểu thức: $sinA=2.\frac{b.sinA}{a}.\frac{c.sinA}{a} => a^{2}=2bc.sinA$
lại có: $a^{2}=b^{2}+c^{2}- 2bc.sinA$
Suy ra: 2bc.(cosA+sinA)=$b^{2}+c^{2}$ nên cosA+sinA=1 và b=c
vì sinA=1;b=c nên tam giác thoả điều kiện trên vuông cân tại A

[kazehikaru]

$y=\left ( \frac{1+\sin^2x}{\sin^2x} \right )^n+\left ( \frac{2-\sin^2x}{\sin^2x} \right )^n$ Đặt $\sin^2x=t$ với $t\in (0;1]$ $\Rightarrow y=f(t)=\left ( \frac{1+t}{t} \right )^n+\left ( \frac{2-t}{t} \right )^n$ $f'(t)=\frac{n(1+t)^{n-1}.(2-t)^n+n(1+t)^n.(2-t)^{n-1}}{t^{2n}}>0,\forall t\in (0;1]$ Suy ra hàm số $f(t)$ đồng biến trên R Lập bảng biến thiên ta tìm được $\max y=f(1)=2^n$ khi $\sin^2t=1\Leftrightarrow x=k\pi\pm \frac{\pi }{2}$ Hàm số không có GTNN

bài của bạn có rất nhiều vấn đề:
1. cái chỗ $y=\left ( \frac{1+\sin^2x}{\sin^2x} \right )^n+\left ( \frac{2-\sin^2x}{\sin^2x} \right )^n$
$\cos ^{2}x= 1-\sin ^{2}x$ mới đúng
từ đây dẫn ra những sai lầm tiếp theo
Đặt $\sin^2x=t$ với $t\in (0;1]$
phải là (0;1) mới đúng
do đó tới cái khúc cuối
$\max y=f(1)=2^n$ khi $\sin^2t=1$ là ko thể

xem thử bài mình tìm min nhá:
nhớ na ná có 1 bất đẳng thức thế này:
với $a\geq 0$ và $b\geq 0$, n thuộc N thì:
$(\frac{a+b}{2})^{n}\leq \frac{a^{n}+b^{n}}{2}$
hay: $a^{n}+b^{n}\geq \frac{1}{2^{n-1}}(a^{n}+b^{n})$
áp dụng vào thử xem:

$y= (\frac{1+\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x})^{n}+(\frac{1+\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x})^{n}$
$\geq \frac{1}{2^{n-1}}(\frac{1+\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x}+\frac{1+\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x})^{n}$
ta lại có:
$(\frac{1+\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x}+\frac{1+\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x})^{n}$=$(\frac{1}{\sin ^{2}x}+\frac{1}{\cos^{2}x }+2)^{n}$
=$(\frac{1}{\sin ^{2}x\cos ^{2}x}+2)^{n}=(\frac{4}{\sin ^{2}2x}+2)^{n}$
$0< sin ^{2}2x\leq 1 => \frac{4}{sin ^{2}2x}+2\geq 6$
=> $(\frac{4}{\sin ^{2}2x}+2)^{n}\geq 6^{n}=>y\geq \frac{1}{2^{n-1}}.6^{n}$
$=> min y=\frac{1}{2^{n-1}}.6^{n}$ đạt được khi:
$\frac{1}{\sin ^{2}x}+1=\frac{1}{\cos ^{2}x}+1$ và $\sin ^{2}2x=1$
<=> $x=\frac{pi}{4}+kpi/2$, k thuộc Z

tham khảo và cho ý kiến nha các bạn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kazehikaru: 17-02-2013 - 21:17

[kazehikaru]

ta đã có $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$
thay vào biểu thức: $sinA=2.\frac{b.sinA}{a}.\frac{c.sinA}{a} => a^{2}=2bc.sinA$
lại có: $a^{2}=b^{2}+c^{2}- 2bc.sinA$
Suy ra: 2bc.(cosA+sinA)=$b^{2}+c^{2}$ nên cosA+sinA=1 và b=c
vì sinA=1;b=c nên tam giác thoả điều kiện trên vuông cân tại A

chỗ này là sao nhỉ?
2bc.(cosA+sinA)=$b^{2}+c^{2}$ nên cosA+sinA=1 và b=c

[SOYA264]

chỗ này là sao nhỉ?
2bc.(cosA+sinA)=$b^{2}+c^{2}$ nên cosA+sinA=1 và b=c

xin lỗi mình cũng đã nhận ra nó có vấn đề nhưng chưa nghĩ ra cách sửa. Hai cái đó không thể tương đương nhau được. cần phải có thêm một điều kiên nữa và mình đang tìm...